在有向图中找到可到达的顶点

Question

我想问以下问题：

给出一个有向图（不一定是DAG），对于每个顶点v，从v计算可到达的顶点数。

因此，使用蛮力方法（n倍DFS），我们可以得到O（n ^ 2）时间复杂度的答案。有没有一种更快的计算方法？我绝对可以使用SCC从给定的图形制作DAG。我尝试使用以前计算的值，因此我只能访问每个顶点一次，但是根本无法使用。最大的问题在于这样的图形：

  2 -> 1
  3 -> 2
  3 -> 1
  1 -> 4

我从顶点1运行一个DFS并返回结果1。然后，使用它我可以立即计算2的答案（我不再在第二个DFS中输入顶点1，而是使用它的答案），那是2。然后我到达顶点3，并且...该算法将求和1和2的结果，因为我可以到达这两个顶点。但是已经在顶点2的结果中计算了顶点1。这样，我得到的答案等于4，这是不正确的。

Answer 1

我真的怀疑通用图没有更好的算法。我在主题[1] [2]上找到的所有论文都描述了在O（| V | * | E |）时间运行的算法。

维基百科页面[3]说最快的算法将问题减少为矩阵乘法。

[1] http://ion.uwinnipeg.ca/~ychen2/conferencePapers/tranRelationCopy.pdf

[2] http://www.vldb.org/conf/1988/P382.PDF

[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Transitive_closure#Algorithms

Answer 2

我认为最好的算法运行 O（| V | * | E |）。

算法：

1-对图形进行 SCC 。

2-构建简化图 Gr 。

3-为 Gr 中的每个顶点 v 和每个访问的不同 SCC （包括 v 的 SCC ）累积其中的顶点数量（从步骤1开始预先计算）。

使用此算法，您可以消除蛮力 | V | * | V | 因素 O（| V | * | V | + | V | * | E |））< / strong>。

这是我所知道的最好和最简单的算法。我没有示范，但我敢肯定没有更好的办法。