我已实施Knuth's "Dancing Links" algorithm来研究广义的精确覆盖问题（即，带有辅助列）。该代码可按预期工作，以实现完全覆盖（即所有列均为主列），因此适用于简单的稀疏矩阵：
[0, 1, 0]
[0, 0, 1]
[1, 0, 0]
[1, 1, 0]
[0, 1, 1]
[1, 1, 1]
我的代码返回以下行集作为解决方案：
[0, 1, 2]
[1, 3]
[2, 4]
[5]
我还用许多其他确切的封面示例对此进行了测试，并进行了检验。但是，有关次要列的详细信息有点含糊。从各种Knuth / non-Knuth资源中收集的信息来看，您需要做的是：
唯一的区别是我们通过以下方式初始化数据结构： 仅主要列的列标题的循环列表。每个标头 第二列应具有指向其自身的L和R字段。其余的 算法的过程与以前完全相同，因此我们仍将其称为算法DLX。
对矩阵/节点/标题的表示方式进行了这些更改，然后将第一列设置为第二列（即，只有第2列和第3列是主要列）之后，我得到了以下几组行作为解决方案：
[0, 1]
[1, 3]
[4]
[5]
虽然所有这些都是有效的解决方案，并且有些与确切的掩护解决方案重叠，但似乎缺少其他解决方案（即，某些来自确切的掩护解决方案集合）：
[0, 1, 2]
[2, 4]
也许这对我来说是一个误会，但我在概念上是否有所遗漏，还是Knuth的解释不完整？
如果您可以证明您的算法可以生成完整的解决方案，这甚至会有所帮助，这将帮助我确认我的算法不完整！
不幸的是，即使是关于舞蹈链接的Knuth's "Art of Computer Programming"似乎也没有提供太多帮助。
答案 0 :(得分：1)
这是将确切的覆盖问题扩展到Pre-Fascicle 5C（跳舞链接）第7页（当前）上的非主要项目的原因：
...确切的掩护问题涉及N个不同的项目，其中N1是主要项目，N2 = N-N1是次要项目。它由一系列选项定义，每个选项都是项目的子集。 每个选项必须至少包含一个主要项目。任务是找到选项的所有子集，其中（i）每个主要项目恰好包含一个，并且（ii）每个次要项目最多包含一次。
（纯辅助选项从该新定义中排除，因为在我们对其进行优化后，它们永远不会被算法X选择。如果由于某些原因您不喜欢该规则，则可以随时返回松弛选项的概念。练习19讨论了另一个有趣的选择。）
您的问题将由第一段和第二段中强调的句子（由Knuth回答）回答。 Knuth解决的确切封面问题不允许（或忽略）无法帮助覆盖主要项目的选项，即仅由次要项目组成。
在您的问题示例中，我们将其称为A，B，C列，其中A为第二列，B和C为第一列。选项是：
[0, 1, 0] -- option 0: [B]
[0, 0, 1] -- option 1: [C]
[1, 0, 0] -- option 2: [A]
[1, 1, 0] -- option 3: [A, B]
[0, 1, 1] -- option 4: [B, C]
[1, 1, 1] -- option 5: [A, B, C]
因此，第三行[1 0 0]，即选项2，不包含任何主要项目。
您可以在名为（例如）foo.dlx的文件中使用以下输入来运行Knuth的程序DANCE或DLX1：
B C | A
B
C
A
A B
B C
A B C
程序找到相同的四个解决方案：
$ ./dance 1 < foo.dlx
1:
C (1 of 3)
B (1 of 2)
2:
C (1 of 3)
B A (2 of 2)
3:
C B (2 of 3)
4:
C A B (3 of 3)
Altogether 4 solutions, after 12 updates.
或
% ./dlx1 m1 < foo.dlx
Option ignored (no primary items): A
(5 options, 2+1 items, 14 entries successfully read)
1:
C (1 of 3)
B (1 of 2)
2:
C (1 of 3)
B A (2 of 2)
3:
C B (2 of 3)
4:
C A B (3 of 3)
Altogether 4 solutions, 261+231 mems, 12 updates, 360 bytes, 6 nodes.
（请注意第二个程序中的明确警告，将忽略仅包含第二项A的选项2。）
如果删除不包含主要项目（列）的选项（行），则该程序已经可以使用：对于新问题，您获得的解决方案确实是详尽无遗的。
正如Knuth在引用的第二段中所说（忽略“练习19”替代方案；它是为了解决一个不同的问题），如果您确实想包含仅包含次要项目的选项，则可以回到松弛选项的概念。在2000年的论文中，这个想法是您引用的段落之后的下一个句子：
如果我们为每个第二列简单地添加一行，而在该列中只包含一个1，则广义的覆盖问题可以转换为等效的精确覆盖问题。
（也就是说，对于每个次要项目，我们添加一个仅包含该项目的选项，现在将其视为仅主要项目的确切覆盖问题。）
更详细地说，我假设您想解决以下问题：
有N个不同的项目（列），其中一些是主要的，其他是次要的。
有一些选项（行），每个选项集都是一组项目（列）。 其中一些可能不包含主要项目。
找到包含每个主要项目一次，每个次要项目最多一次的选项的所有子集。
要解决此问题，我们可以执行以下操作：
在给定的选项（行）中，标识仅包含次要项目（列）的选项。因此，您将给定的所有行的集合划分为两组：一组（称为X），其中每个选项至少包含一个主项；一组（称为Y），其中每个选项仅包含次要项目。
对于每个辅助项目，形成仅包含该项目的选项（行）。令Z为所有此类单项（松弛）选项的集合。
现在，将选项列表（X + Y）替换为（X + Y + Z），其中+为并集：Y和Z之间可能存在一些重叠，但是您只会保留一个每个选项。
最后，解决原始的精确覆盖问题（所有选项均为主要选项）。您将获得一些解决方案。
对于每种获得的解决方案，
首先丢弃（忽略）所有不在X或Y中的选项（即，是您另外添加的松弛选项之一）
在解决方案中形成仅包含次要项目的选项集Y'。令X'为剩余集合（即解决方案中的至少包含一个主要项目的选项）。
为Y'的每个子集附加解决方案（X'union S）。
在您的示例问题中：X是以下集合：
[0, 1, 0] -- option 0: [B]
[0, 0, 1] -- option 1: [C]
[1, 1, 0] -- option 3: [A, B]
[0, 1, 1] -- option 4: [B, C]
[1, 1, 1] -- option 5: [A, B, C]
Y是以下集合：
[1, 0, 0] -- option 2: [A]
Z与Y相同，因此在这种情况下您无需添加任何内容。
您可以解决原始的确切掩盖问题（一切都是主要的），并获得以下解决方案：
[0，1，2]。这里X'= [0，1]，而Y'= [2]并具有两个子集：空集（[]）和Y本身（[2]）。因此，添加两个解决方案[0，1]和[0，1，2]。
[1，3]。 X'= [1，3]，Y'= []。添加解决方案[1，3]。
[2，4]。 X'= [4]，Y'= [2]。添加两个解决方案[4]和[2，4]。
[5]。 X'= [5]，Y'= []。添加解决方案[5]。
这提供了所有六个解决方案。