计算分区问题的大O复杂度

Question

我的伪代码如下：

solve(n)
    for i:= 1 to n do
       process(i);
       solve(n-i);

其中process(n)是具有某些复杂性f(n)的函数。就我而言，f(n)=O(n^2)，但我也对一般情况感兴趣（例如，如果f(n)=O(n)）。

因此，我有T(n) = f(n) + ... + f(1) + T(n-1) + ... + T(1)。我不能应用Master定理，因为子问题的大小不同。

如何计算此递归的复杂度？

Answer 1

小技巧–考虑solve(n-1)：

solve(n)  :  T(n)   =  f(n) + f(n-1) + f(n-2) + ... + f(1) + T(n-1) + T(n-2) + ... + T(0)
solve(n-1):  T(n-1) =         f(n-1) + f(n-2) + ... + f(1) +          T(n-2) + ... + T(0)

从前者减去后者：

反复展开：

解决f(n)的最后一个求和以获得复杂度。

例如为f(n) = O(n)：

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替代方法–变量替换：

S(m)的形式适用于主定理。

例如对于f(n) = O(n) = O(log m)，将案例2与k = 0一起使用：

相同结果q.e.d。