插入排序的时间复杂度

Question

我试图了解插入排序的时间复杂度。我被困在while循环中。我不知道执行循环多少次

InsertionSort(A)
    for j = 2 to A.length
        key = A[j]
        i = j - 1
        while i>0 and A[i]>key
            A[i+1] = A[i]
            i = i - 1
        A[i+1] = key

我知道for循环执行n + 1次，循环中的每个语句执行n次 while循环也执行n次 但是，我不明白的是“ while循环下的语句在最坏情况和最佳情况下都执行了多少次？”

Answer 1

在最坏的情况下，A会以降序排列，这意味着对于第j个条目，内部循环将运行j次（给出或取“ +1”或“ -1” ...）。令人高兴的是，有一个公式可以作为Gauss famously found out spontaneously and under duress，将1到n的所有数字相加得出n*(n+1)/2的结果。

由于我们只关心复杂度，而不关心实际值，因此可以忽略常数和乘法因子，最后得到O(n^2)。

开玩笑地说，当内部循环计数线性限制时，在循环中存在循环的事实强烈表明O(n^2)。

最好的情况是，A已按升序排序，根本不会输入内部循环，而总体复杂度将为O(n)。

平均情况在很大程度上取决于您预期的“无序性”状态。例如，如果您的列表基本上总是已经排序，并且只有很少，非常本地的切换，则排序将表现得很好。