如何证明Coq中的整数除法不等式

Question

我需要证明：256 * (x / 256) <= 256 * x / 256，或更笼统地说forall a b c : N, c > 0 -> a * (b / c) <= a * b / c。这是正确的，因为b可以被c整除并且它们相等或不相等，并且先相乘可以使数字膨胀并导致更高的精度。但是，我在标准库中找不到能证明这一点的定理，而且我所知没有自动策略（自动，直觉，简单，zify和omega）起作用。如果有帮助，我也知道x < 256 * 256，但是检查所有65536个案例并不是一个很好的证明...

Answer 1

在我的特定情况下，我能够这样解决：

rewrite (N.mul_comm 256 x).

这会在右侧切换到256 * (x / 256) <= x * 256 / 256。

rewrite (N.div_mul x 256).

这将右侧缩小为256 * (x / 256) <= x。

rewrite (N.mul_div_le x 256).

采用这种自动策略后就可以了。