为什么n ^ 2 logn + n（logn）^ 2 = O（n ^ 2（logn）^ 2）的时间复杂度？

Question

为什么n ^ 2 logn + n（logn）^ 2 = O（n ^ 2（logn）^ 2）的复杂度为何？ 我认为这是对康奈尔（Cornell）期末考试论文（在线找到）的一种解决方案，但我不太确定它是否正确。

Answer 1

语句n²log n + n（log n）²∈O（n²（log n）²）有效。这并不是该功能可以提供的最佳上限。但这仍然是事实。注意，f（n）∈O（n²log n）⇒f（n）∈O（n²（log n）²）。这就是为什么人们从不（或不应该）写f（n）= O（g（n）），而应该写f（n）∈O（g（n））的原因。

另一方面，提供的界限有点​​保守，这很可能是因为对于较小的n值（n <1），n²log n小于n（log n）²。或者也许是因为这是测试的一部分，所以它也可能是测试学生是否完全理解f（x）∈O（g（n））意味着什么的方法（一个技巧问题，但一个有趣的技巧问题）。即使我在提出以下问题之前就已经添加了一个问题，下面的语句也是有效的：“n²log n + n（log n）²∈O（n²（log n））”。

假设更保守的界限可能取决于上下文（如果n非常小，并且1已经被认为是“大值”），那么通常会明确指定。

如果没有其他规定，人们会认为此函数的最佳上限是O（n²log n）。

Answer 2

让我们考虑一下Wikipedia中解释的理论。

据记载，如果 f1 是 O（g1），而 f2 是 O（g2） ， f1 + f2 是 O（max（g1，g2））。

让我们考虑 f1 =n²log n 和 f2 = nlog²n 。 然后 f1 是 O（nlog log n），而 f2 是 O（nlog²n）。

现在，对于 n> 1 ，由于 n> log n ，我们可以将不等式的两边乘以 n log n 到获得n²log n> nlog²n 。这证明 O（n²log n）> O（nlog²n），根据上面的定义，我们有： O（n²log n）。