二次函数的渐近紧束缚

Question

在CLRS（Cormen，Leiserson，Rivest和Stein的Introduction to Algorithms）中获取功能

  

f （ n ）= ² + bn + C 的

他们说

  

假设我们采用常量 c ₁ = a / 4， c ₂ = 7 a / 4， n ₀ = 2·max（| b | / a ，√（| c | / a ））。
  然后0≤ c ₁ n ² ≤ ² + bn + c ≤ c ₂ n ^{2 < / sup>所有 n ≥ n ₀ 。
  因此 f （ n ）是Θ（ n 2 ）。}

但是他们没有说明这些常数的值是如何来的？ 我试图证明它但不能 请告诉我这些常数是怎么来的？

Answer 1

这些特定常数没有什么特别之处（除了在某个n值的上下文中它们将满足f的theta-ness这一事实。没有魔法。如果你能找到其他正常数，其中关系保持同样有效（事实上，对于任何c1，ka可以是0<k<1。虽然他们在那里，但我们分析一下c1：

我们需要它来满足以下不平等：

c1*n^2 <= an^2 + bn + c

让我们看看他们的价值：c1 = a/4。对于n，我们可以保证不平等吗？我们可以解决：

a/4*n^2 <= an^2 + bn + c
<==> 0 <= 3a/4*n^2 + bn + c

二次方在(-b +- sqrt(b^2-3ac)) / (3a/2)处有解，因为我们有一个正的领先系数多项式，所以只有正数是有意义的，所以我们需要n > 2 * (sqrt(b^2-3ac) - b) / 3a这个定义得很好，假设b^2 >= 3ac （如果不是，那么二次方是正定的，这甚至更好，因为它的＆gt; = 0到处并且不等式适用于所有n）。我应该指出这是一个有效的解决方案，尽管在我们到达本书的代表之前我们会做更多的工作。

我们可以将分析分为2个案例。首先，我们假设|b|/a >= sqrt(|c|/a)。因此，我们可以使用sqrt(...)从4b^2的内部上方绑定，并n > 2/3 * [sqrt(4b^2)-b]/a需要2/3 * 3|b|/a = 2|b|/a。

第二种情况，让我们假设|b|/a < sqrt(|c|/a)。因此，我们可以使用sqrt(...)从4a|c|的内部上方绑定，并n > 2/3 * [sqrt(4a|c|)-b]/a需要2/3 * 3*sqrt(a|c|)/a = 2sqrt(|c|/a)。

因此，在每种情况下，当我们采用max(|b|/a, sqrt(|c|/a))时，我们会看到n > 2 * max

时我们的不等式成立

同样适用于c2。

Answer 2

这个想法是（足够大的 n ）“陷阱”两个“纯”增长函数（只有一个比例常数）之间的感兴趣函数。在该图中，两个二次函数（以红色和蓝色绘制）被捕获在两个纯增长函数（以黑色绘制）之间，并且每个函数的最小可能值 n ₀ 案件被指出。

因此，一旦您选择了 c ₁ 和 c ₂ 的值，您就可以找到 n ₀ 的值，将函数与两个纯增长函数相交并取最右边的交点。

但是你并不关心 n ₀ 的最小值 - 我们在这里做渐近线，所以任何大的足够的值可以做 - 所以你可以使用近似值得到它的上限。

请参阅davin关于如何将 n ₀ 的上限纳入CLRS中给出的表格的答案。

Answer 3

只要c1和c2，就可以任意选择

0 < c1 < a和a < c2 < infinity。 然后根据此计算n0，以便所有0 <= c1*n^2 <= an^2 + bn + c <= c2*n^2满足不等式n>=n0。

Answer 4

要证明任何多项式f（n）= a0 + a1 * n + a2 * n ^ 2 + a3 * n ^ 3 + ... + am * n ^ m是theta（n ^ m），请遵循以下两个简单的步骤。 步骤1.显示f（n）是bigOh（n ^ m） 步骤2.表明f（n）是bigOmega（n ^ m）

如果上述条件都保持良好，那么肯定f（n）是bigTheta（n ^ m）。

这是一种概括。通过设m = 2，得到f（n）是bigTheta（n ^ 2） 简单..不是吗？

Answer 5

很容易 1.c1＆lt; = a + b / n + c / n ^ 2   现在这里a> 0，而b，c是正数或负数   现在我们必须选择n的值，使得b / n + c / n ^ 2永远不会超过上述等式的RHS，否则它将变为负值，因此c1也将变为负值。但根据定义，c1是正常数

所以我们要确定 一个＆GT; B / N + C / N ^ 2

如果我们选择n = 2 * max（| b | / a，sqrt（| c | / a）） 我们将得到b / n + c / n ^ 2作为一个小于a / 2 + a / 4的表达式。

因此a + b / n + c / n ^ 2的最大值为a + a / 2 + a / 4，最小值为a-（a / 2 + a / 4），它只是一个值c2和c1。

c1 = a-a / 2-a / 4 = a / 4 c2 = a + a / 2 + a / 4 = 7a / 4

这个概念可以扩展到任何多项式的任何值。

欢呼声!!!

Answer 6

P（n）= a ² + bn + c = an ² （1 + b /（an）+ c /（an ² ））= ² （1±（| b | / a）/ n±（√（| c | / a）/ n） ²
所以，如果我们以例如 q = max（| b | / a，√（| c | / a））为例 P（n）≤一个 ² （1 +（q / n）+（q / n） ² ）如果我们采取 n ₀ = q 比我们得到第二个常数
c ₂ = 3a 类似地用于下限