Question

我正在尝试获取以下代码段的正确Big-O：

s = 0
for x in seq:
  for y in seq:
    s += x*y
  for z in seq:
    for w in seq:
      s += x-w

根据我从（Python算法）得到这个例子的书，他们解释如下：

z循环运行一系列线性迭代，并且它包含一个线性循环，所以总复杂度有二次方或Θ（n ²）。 y环显然是Θ（n）。这意味着x循环内的代码块是Θ（n + n ²）。每个都执行整个块循环x循环，运行n次。我们使用乘法规则得到Θ（n（n + n ²））=Θ（n ² + n ³） =Θ（n ³），即立方。

我不明白的是：O（n（n + n ²））如何变成O（n ³）？数学是否正确？

Answer 1

这里完成的数学运算如下。当你说O（n（n + n ²））时，这相当于简单地分配O（n ² + n ³）整个产品中的n。

O（n ² + n ³）= O（n ³）的原因来自big-O的正式定义符号，如下：

函数f（n）= O（g（n））iff存在常数n ₀和c使得对于任何n≥n₀，| f （N）| ≤c| g（n）|。

非正式地说，当n变得任意大时，f（n）从上面以g（n）的常数倍为界。

为了正式证明n ² + n ³是O（n ³），考虑任何n≥1。然后我们得到

n ² + n ³≤n³ + n ³ = 2n ³

所以我们得到n ² + n ³ = O（n ³），n ₀ = 1和c = 2.因此，我们有

O（n（n + n ²））= O（n ² + n ³）= O（n ³）。

要真实地说明这一点，我们需要证明如果f（n）= O（g（n））和g（n）= O（h（n）），那么f（n）= O （H（N））。让我们来看看这个证明。如果f（n）= O（g（n）），则存在常数n ₀和c，使得对于n≥n₀，| f（n）| ≤c| g（n）|。类似地，由于g（n）= O（h（n）），有常数n'₀，c'使得对于n≥n'₀，g（ n）≤c'| h（n）|。所以这意味着对于任何n≥max（c，c'），我们都有

| F（N）| ≤c| g（n）| ≤c| c'h（n）| = c x c'| h（n）|

所以f（n）= O（h（n））。

更准确一点 - 在这里描述的算法的情况下，作者说运行时是Θ（n ³），这比运行时更强是O（n ³）。 Θ符号表示紧密的渐近界，意味着运行时以与n ³相同的速率增长，而不仅仅是它从上面以n ³的某个倍数为界。为了证明这一点，你还需要证明n ³是O（n ² + n ³）。我会将此作为练习留给读者。： - ）

更一般地说，如果你有任何阶数为k的多项式，那么该多项式使用类似的参数为O（n ^k）。为了看到这一点，让P（n）=Σ_{i = 0} ^k（a _i n ⁱ）。那么，对于任何n≥1，我们都有

Σ_{i = 0} ^k（a _i n ⁱ）≤Σ_{i = 0} ^k（a _i n ^k）=（Σ_{i = 0} ^{k < / SUP>（一<子> I ））N ^ķ}

所以P（n）= O（n ^k）。

希望这有帮助！

Answer 2

O(n(n+n^2)) = O(n^2 + n^3)

由于n^3字词在n^2字词中占主导地位，n^2字词可忽略不计，因此为O(n^3)。

Answer 3

n（n + n ²）== n ² + n ³

Big-O表示法仅关注主导项，因为n变为无穷大，因此整个算法被认为是Θ（n ³）。

Answer 4

由于z循环（O（n）+ O（n ^ 2） - > O（n ^ 2）），y循环可以打折算了算术。然后你留下了三个嵌套循环，它们遍历'seq'的全长，所以它是O（n ^ 3）

帮助计算大O.

4 个答案: