Question

每当有人承诺“解释monad”时，我的兴趣就会被激怒，只有当被指称的“解释”是一长串的例子后才会被挫败所取代，这些例子被一些副手的评论所终止，即“数学理论”背后的“深奥的想法”“太复杂了，无法解释”。

现在我要求相反的事情。我对类别理论有着扎实的把握，我并不害怕图表追逐，Yoneda的引理或派生的函子（实际上是 monads 和分类意义上的附件）。

有人能给我一个清晰简洁的定义monad在函数式编程中的含义吗？越少越好的例子：有时一个清晰的概念说明了一百多个胆小的例子。尽管我不挑剔，Haskell作为一种演示语言会很好。

Answer 1

这个问题有一些很好的答案：Monads as adjunctions

更重要的是，Derek Elkins在TMR＃13中的“使用类别理论计算Monads”一文应该具有您正在寻找的那种结构：http://www.haskell.org/wikiupload/8/85/TMR-Issue13.pdf

最后，也许这真的是最接近你所寻找的东西，你可以直接找到源头，看看Moggi关于这个主题的开创性论文，从1988-91：http://www.disi.unige.it/person/MoggiE/publications.html

特别参见“计算和monad的概念”。

我自己确定太精简/不精确：

从类别Hask开始，其对象是Haskell类型，其态射是函数。函数也是Hask中的对象，产品也是如此。所以Hask是笛卡尔式的。现在介绍一个箭头，将Hask中的每个对象映射到MHask，这是Hask中对象的子集。单元！接下来介绍一个箭头，将Hask上的每个箭头映射到MHask上的箭头。这为我们提供了地图，并使MHask成为协变的endofunctor。现在引入一个箭头映射MHask中的每个对象，该对象是从MHask中的对象（通过单位）生成到生成它的MHask中的对象。加入！从那时起，MHask是一个monad（更准确地说是一个monoidal endofunctor）。

我确信上述原因是有缺陷的，这就是为什么我真的会指导你，如果你正在寻找形式主义，尤其是Moggi论文。

Answer 2

作为对Carl的答案的赞美，Haskell中的Monad（理论上）是这样的：

class Monad m where
  join :: m (m a) -> m a
  return :: a -> m a
  fmap :: (a -> b) -> m a -> m b

请注意，“bind”（>>=）可以定义为

x >>= f = join (fmap f x)

根据the Haskell Wiki

C 类别中的monad是三元组（ F ：C→C，η： Id → F ，μ： F ∘ F → F ）

......有些公理。对于Haskell，fmap，return和join分别与 F ，η和μ对齐。（Haskell中的fmap定义了一个Functor）。如果我没弄错的话，Scala会分别调用这些map，pure和join。（Scala调用bind“flatMap”）

Answer 3

好的，使用Haskell术语和示例......

函数式编程中的monad是具有* -> *种类的数据类型的组合模式。

class Monad (m :: * -> *) where
    return :: a -> m a
    (>>=)  :: m a -> (a -> m b) -> m b

（除了Haskell之外，还有更多的课程，但那些是重要的部分。）

如果数据类型在实现中满足三个条件的同时可以实现该接口，则它是monad。这些是“monad法则”，我将把它留给那些冗长的解释，以获得完整的解释。我将这些定律概括为“(>>= return)是一个身份函数，(>>=)是关联的。”它真的不仅仅是那个，即使它可以更精确地表达。

那是所有 monad。如果您可以在保留这些行为属性的同时实现该接口，则可以使用monad。

这个解释可能比你想象的要短。那是因为monad界面真的非常抽象。令人难以置信的抽象层次是为什么许多不同的东西可以被建模为monad的一部分。

不太明显的是，与接口一样抽象，它允许对任何控制流模式进行一般建模，而不管实际的monad实现。这就是为什么GHC的Control.Monad库中的base包具有when，forever等组合器的原因。这就是为什么显式抽象任何monad实现的能力强大的原因，特别是在类型系统的支持下。

Answer 4

你应该阅读Eugenio Moggi撰写的论文“计算和单子的概念”，它解释了当时提出的monads对有效语言的指称语义结构的作用。

还有一个相关问题：

References for learning the theory behind pure functional languages such as Haskell?

由于你不想挥手，你必须阅读科学论文，而不是论坛答案或教程。

Answer 5

我真的不知道我在说什么，但这是我的看法：

Monads用于表示计算。您可以将正常的过程程序（基本上是一个语句列表）视为一堆组合计算。 Monads是这个概念的概括，允许您定义语句的组合方式。每个计算都有一个值（它可能只是()）; monad只是决定了一系列计算中的值如何表现。

符号实际上是说明这一点：它基本上是一种特殊的基于语句的语言，可以让你定义语句之间发生的事情。就好像你可以定义“;”使用类C语言。

从这个角度来看，到目前为止我使用过的所有monad都有意义：State不会影响值，但会更新第二个值，该值在后台从计算传递到计算; Maybe如果遇到Nothing，则会将该值短路; List允许您传递可变数量的值; IO允许您以安全的方式传递不纯的值。我使用的更专业的monad如Gen和Parsec解析器也类似。

希望这是一个明确的解释，并非完全偏离基础。

Answer 6

A monad is a monoid in the category of endofunctors, whats the problem?

除了幽默之外，我个人相信monads，因为它们在Haskell和函数式编程中使用，可以从 monads-as-an-interface 点更好地理解。查看（如Carl和Dan的答案），而不是 monads-as-the-term-from-category-theory 的观点。我必须承认，当我不得不在真实项目中使用来自另一种语言的monadic library时，我才真正内化了整个monad事物。

你提到你不喜欢所有的“很多例子”教程。有没有人向你指出Awkward squad论文？它专注于IO monad，但介绍给出了为什么首先被Haskell所接受的monad概念的技术和历史解释。

Answer 7

由于你理解了类别理论意义上的monad，我将你的问题解释为关于函数式编程中monad的表示。因此，我的答案避免了对monad 是什么的任何解释，或对其含义或用途的任何直觉。

答案：在Haskell中，monad以某种类别的内部语言呈现为Kleisli三元组的（内化）地图。

<强>解释：关于“Hask类别”的属性很难确切，这些属性在很大程度上与理解Haskell的monad表示无关。相反，对于此讨论，将Haskell理解为某些类别 C 的内部语言更为有用。 Haskell函数定义 C 中的态射，Haskell类型是 C 中的对象，但制作这些定义的特定类别并不重要。

参数数据类型，例如data F a = ...是对象映射，例如F : | <强> C | -> | <强> C |。

Haskell中monad的常用描述是 Kleisli triple （或 Kleisli扩展）形式：

class Monad m where
    return :: a -> m a
    (>>=) :: m a -> (a -> m b) -> m b

其中：

m是对象映射 m :| C | -> | C |
return是对象

单元

>>=（由Haskellers发音为“bind”）是对态射的扩展操作，但是它的前两个参数被交换（参见扩展名(-)* : (a -> m b) -> m a -> m b的常用签名）< / LI>

（这些地图本身内化作为 C 中态射的系列，这可能是m :| C | -> | <强> C |）。

Haskell的执行 - 注释（如果您遇到过这种情况）因此是Kleisli类别的内部语言。

Answer 8

Haskell wikibook page有一个很好的基本解释。

根据分类术语，FP中的monad是什么？

8 个答案: