Question

请耐心等待。我首先要从书中描述一个例子，然后在最后提出我的问题。

根据编程语言范例的文本：

归纳规范是一种指定一组的强大方法值。为了说明这种方法，我们用它来描述某种方法 自然数的子集S N = {0,1,2，.... 。 }

自上而下的定义：

当且仅当

时，自然数n在S中

n = 0，或
n-3∈S。

我们知道0∈S。因此3∈S，因为（3 - 3）= 0和 0∈S。类似地6∈S，因为（6-3）= 3和3∈S。继续这样，我们可以得出结论，所有3的倍数都在S中。

其他自然数字怎么样？是1∈S？我们知道1！= 0，所以第一个条件不满意。此外，（1-3）= -2，这不是自然的数字因此不是S的成员。因此第二个条件不满意。

自下而上的定义：

将集合S定义为N中包含的最小集合并满足以下两个属性：

0∈S，
如果n∈S，则n +3∈S。

“最小集合”是满足属性1和2的那个，即a 满足属性1和2的任何其他集的子集。很容易看出只有一个这样的集合：如果S1和S2都满足属性1和 2，两者都是最小的，那么S1⊆S2（因为S1最小），S2⊆S1 （因为S2最小），因此S1 = S2。我们需要这个额外条件，因为否则有很多套满足剩下的两个条件

推理规则：

_____
0 ∈ S

n ∈ S
---------
(n+3) ∈ S

这只是前一版本定义的简写表示法。每个条目都称为推理规则，或者只是一个规则;水平的 line被读作“if-then”。该行上方的部分称为 hypothesis 或者先行者;该行下面的部分称为结论或结果。当列出两个或多个假设时，它们通过连接隐含的“和”

现在问题就出现了。

可能最重要的问题是为什么我需要知道这些归纳定义，以及它们在现实案例中有用吗？
为什么Google几乎没有返回归纳定义的结果？
如果自上而下，自下而上和推理规则基本上显示相同的东西，为什么我们需要3种方法来编写相同的东西？
为什么我很难找到问题的归纳定义比书中的例子复杂一点，如下所示。

我想找到以下2个问题的自上而下，自下而上和推断定义。你不必给我答案，但我确实想知道如何得出归纳定义。我从哪里开始？是否有系统的方法来处理这类问题（一个方法）？

1. {2n+3m +1 | n,m ∈ N}
2. {(n, 2n+1) | n ∈ N}

Answer 1

你在这里问过很多问题，所以希望这个回复可以回答所有这些问题。如果有什么需要澄清的话，请告诉我。

您的第一个问题 - 为什么我们需要归纳定义？ - 最容易回答。在计算机科学中，大量结构被归纳地定义。例如，您的简单链接列表具有归纳定义

空列表是一个链表。
单个节点后跟链表是一个链表

或二叉树：

空树是二叉树。
具有两个二叉树子节点的节点是二叉树。

或正则表达式：

∅是正则表达式。
ε是正则表达式。
a是每个字符的正则表达式
如果R1和R2是正则表达式，则R1 | R2是正则表达式。
如果R1和R2是正则表达式，则R1 R2是正则表达式。
如果R是正则表达式，则R *是正则表达式。
如果R是正则表达式，则（R）是正则表达式。

这些定义有许多不错的属性。首先，它们适用于递归算法。如果要访问二叉树中的每个节点，我们可以使用二叉树的归纳定义来构建一个简单的访问算法：

要访问空树，不要做任何事。
访问由节点和两个子树组成的树：
- 访问节点
- 访问左子树
- 访问正确的子树

类似地，如果我们想要操纵正则表达式的结构 - 例如为它构建一个匹配的自动机 - 那么归纳定义可以让我们从正则表达式中逐步构建自动机。

归纳定义也可用于正式证明结构的属性。例如，这是AVL树的正式定义：

单个节点是0阶
具有一个或两个子级为0的AVL树的节点是1级的AVL树。
具有两个子节点的节点，其顺序为n-1的AVL树或具有n-1阶AVL树的一个子节点和另一个n-3阶AVL树的子节点是n阶的AVL树。 / LI>

使用这个定义，可以正式证明AVL树是平衡的。

我们可以类似地使用这些类型的定义来证明有关编程语言的属性。大多数语言都有某种归纳定义，因此通过证明程序的每个部分都保留了一些信息，我们可以从头开始建立正确的证据。

你的第二个问题 - 为什么谷歌没有提出归纳定义的任何例子？ - 我认为是因为它将其解释为“定义归纳”，而不是将其解释为术语本身。如果你查找递归定义，那么你会发现很多归纳定义的例子，因为归纳定义和递归定义彼此非常相似。

你的第三个问题 - 为什么我们需要多种方式来表达同样的事情？ - 也很容易。如果你想证明一个系统的某些东西，归纳定义是很好的。如果你证明它适用于基本元素，那么表明较大的元素保留了该属性，你可以证明它总是正确的。递归定义适用于编写程序，因为递归函数往往会向后运行归纳。推理规则与逻辑证明系统相关联，并为使用经典逻辑证明系统属性提供了一个起点。

你的第四个问题 - 为什么你找不到任何例子？ - 通过花一点时间查看您所知道的经典数据结构和算法，可以轻松修复。您可以归纳定义多少数据结构？尝试查看链接列表，二叉树，红黑树，AVL树等，以获得灵感。你会如何定义图表？ DAG？同样，尝试查看句法结构。例如，您如何归纳地定义平衡括号的字符串？ C中的函数原型怎么样？

你的最后一个问题 - 是否有解决这些问题的系统方法？ - 有一个否定的答案。您可以定义相似于在输入上模拟任意图灵机的重复，并且由于停止问题是不可判定的，因此没有解决这些问题的一般过程。但是，确实存在许多方法。试着看Graham，Knuth和Patashnik的“具体数学”，了解如何解决复发问题。

希望这有帮助！

Answer 2

除了“使用你的大脑”之外，没有系统的方法。但你很幸运，因为这两个例子确实非常接近原始的例子：

1。如果a）k = 1或b）k-2 ∈ S或c）k-3 ∈ S

，则自然数k在S中

1。 a）0 ∈ S b）If n ∈ S, then n+2 ∈ S c）If n ∈ S, then n+3 ∈ S

2。如果a）k=0 and l=1或b）(k-1, l-2) ∈ S

，则一对自然数（k，l）在S中

2。 a）(0,0) ∈ S b）If (k,l) ∈ S, then (k+1, l+2) ∈ S

Answer 3

为什么我需要知道这些归纳定义，它们在实际情况下如何有用？

归纳定义适用于：

证明有关集合成员的属性。例如可以归纳定义lambda terms，然后可以证明有关这些术语的定理。您将使用一种称为Structural Induction的证明技术。
编写可操纵集合成员的函数。我们一直在函数式编程中这样做。例如列表可以归纳定义。然后使用algebraic data type在代码中表示该归纳定义，然后我们可以像下面的length函数一样在列表上编写函数。另一个例子是归纳图，请查阅本文Inductive Graphs and Functional Graph Algorithms。

type List a
  = Empty
  | Cons a (List a)

length : List a -> Int
length list =
  case list of
    Empty ->
      0

    Cons _ xs ->
      1 + length xs

为什么Google几乎没有归纳定义返回任何结果？

我不知道，但是这个book上有一个不错的章节（第3章-施工技术），上面有大量示例。

为什么我们需要三种写同一件事的方式？

不同的观点为您提供了思考同一件事的不同方法，它们可以帮助您塑造直觉。阅读Developing Your Intuition for Math。在这种特殊情况下，自上而下的定义适合于计算对象何时是集合的成员，而自下而上的定义（推理规则只是自下而上的定义的简写）适合于生成集合的成员

为什么我很难找到关于问题的归纳定义，而不是本书的例子。

我在上面分享的这本书Discrete Structures, Logic, and Computability (4th Edition)在第3章中提供了大量示例和练习，供您分别理解和练习。

如何推导归纳定义？我从哪里开始？

感受一下集合中的元素。我将首先列出集合中的某些元素，然后看一下它们如何相互关联。我一直在寻找无法用简单元素定义的基本元素，然后从那些基本元素中寻找可以写下哪些规则来获取其他元素。

在尝试了几个小时后才看。

Answer至1。

Answer至2。

有没有系统的方法？

不。玩这个问题。提出想法并进行测试。阅读Polya的How to Solve It，以发展您的问题解决能力。

归纳规范：自上而下与自下而上与推理规则？

3 个答案: