Question

我在3D空间中有一组数据点，显然都落在特定的平面上。我使用PCA来计算平面参数。 PCA的第3个组成部分给出了平面的法向矢量（最弱的分量）。

接下来我要做的是将所有点转换到所述平面上并在2D中查看它。

我的想法是做以下事情：

在飞机上找到一个中心点（平均点）
从所有数据点中提取它以围绕原点排列它们
旋转法线使其变为（0,0，-1）
将此轮换应用于所有数据点
使用正交投影（基本上，跳过z轴）

现在我一直在寻找正确的旋转操作。我尝试使用acos或atan并设置两个旋转矩阵。似乎这两种方法（使用acos，使用atan）给我错误的结果。也许你可以帮帮我吧！

Matlab代码如下：

b = atan(n(1) / n(2));
rotb = [cos(b) -sin(b) 0; sin(b) cos(b) 0; 0 0 1];
n2 = n * rotb;
a = atan(n(1) / n(3));
rota = [cos(a) 0 sin(a); 0 1 0; -sin(a) 0 cos(a)];
n3 = n2 * rotaows:

我希望n2的y分量为零。然而，对于向量（-0.6367,0.7767,0.0467）已经失败了。

Answer 1

如果你有一架飞机，你有一个法线向量和一个原点。我根本不会做任何“轮换”。你的答案只是一些矢量操作。

让我们将你的飞机的法线向量称为新的z轴。
您可以通过将旧x轴与新z轴（您的平面正常）相交来生成新的y轴。
通过将新z与新y交叉来生成新的x轴。
将所有新轴向量转换为单位向量（长度为1）。
对于你拥有的每个点，创建一个从新原点到点的矢量（点的矢量减法 - plane_origin）。只需点击新的x和新y单位向量，你就得到一对（x，y）你可以绘制！

如果您已经有交叉和点产品功能，那么这只是几行代码。我知道它有效，因为我写的大多数3D电子游戏都是这样工作的。

技巧：

注意向量指向的方向。如果他们指出错误的方式，则否定结果向量或更改叉积的顺序。
如果您的飞机的法线与原始x轴完全相同，则会遇到麻烦。

Answer 2

怎么样：

将法向量分解为XY平面中的向量和Z向量。然后围绕Z轴应用旋转以将XY矢量与其中一个轴对齐。然后找到带有Z轴的法线的点积，并沿着你排列的X，Y旋转。

我们的想法是将法线向量与Z对齐，并且通过这样做，您的平面现在是XY平面。

Answer 3

这是在 Python 中得到的公认答案：

import numpy as np

def rotate(points, normal, around):
  # Let's rotate the points such that the normal is the new Z axis
  # Following https://stackoverflow.com/questions/1023948/rotate-normal-vector-onto-axis-plane
  old_x_axis = np.array([1, 0, 0])

  z_axis = normal
  y_axis = np.cross(old_x_axis, z_axis)
  x_axis = np.cross(z_axis, y_axis)
  
  axis = np.stack([x_axis, y_axis, z_axis])

  return np.dot(points - around, axis.T)

points = np.array([
    [0, 1, 1],
    [0, 1, 0.2],
    [1, 0, -7]
])

v1 = points[1] - points[0]
v2 = points[2] - points[0]

normal = np.cross(v1, v2)
print("rotated points", rotate(points, normal, points[0]))

Answer 4

虽然还有其他有趣的回答，但这是我们在等待答案时想出的解决方案：

function roti = magic_cosini(n)
    b = acos(n(2) / sqrt(n(1)*n(1) + n(2)*n(2)));
    bwinkel = b * 360 / 2 / pi;
    if (n(1) >= 0)
        rotb = [cos(-b) -sin(-b) 0; sin(-b) cos(-b) 0; 0 0 1];
    else
        rotb = [cos(-b) sin(-b) 0; -sin(-b) cos(-b) 0; 0 0 1];
    end
    n2 = n * rotb;
    a = acos(n2(3) / sqrt(n2(2)*n2(2) + n2(3)*n2(3)));
    awinkel = a * 360 / 2 / pi;
    rota = [1 0 0; 0 cos(-a) -sin(-a); 0 sin(-a) cos(-a)];
    roti = rotb * rota;

（它正在返回一个有希望的正确的双旋转矩阵）

我们之前和之前修复的缺陷是esp。处理X分量的符号，余弦计算中没有涉及。这使我们向错误的方向旋转一次（以180°角旋转）。

我希望我也有时间尝试Nosredna的解决方案！避免三角学总是好的。

将法向量旋转到轴平面上

4 个答案: