Question

我对大O，大欧米茄和大Theta符号之间的差异感到困惑。

我知道大O是上界，大欧米茄是下界，但大Ө（theta）到底代表什么？

我读过它意味着 紧束缚 ，但这意味着什么？

Answer 1

首先让我们了解大O，大Theta和大欧米茄是什么。它们都是sets个函数。

大O正在给予asymptotic bound上限，而大欧米茄正在给出下限。 Big Theta给出了两者。

Ө(f(n))的所有内容也是O(f(n))，但不是相反。如果T(n)位于Ө(f(n))和O(f(n))，则Omega(f(n))被称为Ө(f(n))。
在术语集中， O(f(n))是Omega(f(n))的{{3}}和O(n*log(n))

例如，合并排序最差情况是Omega(n*log(n))和Ө(n*log(n)) - 因此也是O(n^2)，但它也是n^2，因为Ө(n^2)渐渐地“比它更大”。但是，它不 Omega(n^2)，因为算法不是O(n)。

更深入的数学解释

T(n)是渐近上界。如果O(f(n))为n0，则表示从某个C开始，T(n) <= C * f(n)为常量C2。另一方面，大欧米茄说T(n) >= C2 * f(n))就是O(f(n))。

不要混淆！

不要与最差，最佳和平均病例分析混淆：所有三种（Omega，O，Theta）符号与算法的最佳，最差和平均病例分析相关。这些中的每一个都可以应用于每个分析。

我们通常用它来分析算法的复杂性（就像上面的合并排序示例一样）。当我们说“算法A是O(f(n))”时，我们真正的意思是“最差¹案例分析下的算法复杂度是f(n)” - 意思是 - 它缩放“类似“（或者正式，不是更糟）函数f(n) = 2*n。

为什么我们关心算法的渐近界？

嗯，这有很多原因，但我相信其中最重要的是：

确定精确复杂度函数要困难得多，因此我们在big-O / big-Theta符号上“妥协”，理论上足够信息。
操作的确切数量也取决于平台。例如，如果我们有一个16个数字的向量（列表）。需要多少操作？答案是：这取决于。一些CPU允许向量添加，而其他CPU则不允许，因此答案在不同的实现和不同的机器之间变化，这是不期望的属性。然而，大O符号在机器和实现之间更加恒定。

要演示此问题，请查看以下图表： enter image description here

很明显f(n) = n比f(n)=logn“更差”。但差异并不像其他功能那么激烈。我们可以看到f(n) = n^2很快就会比其他函数低得多，f(n)=n, f(n)=2*n很快就会比其他函数高得多。
因此 - 由于上述原因，我们“忽略”常数因子（图中的2 *），并且只采用big-O表示法。

在上面的示例中，O(n)将同时位于Omega(n)和Theta(n)中，因此也会位于f(n)=logn中。
另一方面 - O(n)将在f(n)=n中（它比Omega(n)“更好”），但不会在Theta(n)中 - 因此也不在f(n)=n^2。
对称地，Omega(n)将在O(n)中，但不在Theta(n)中，因此 - 也不是{{1}}。

¹通常，虽然并非总是如此。当分析类（最差，平均和最佳）缺失时，我们的意思是最坏的情况。

Answer 2

这意味着该算法在给定函数中都是big-O和big-Omega。

例如，如果它是Ө(n)，那么有一些常量k，这样你的函数（运行时，无论如何）大于n*k足够大n {1}}和其他一些常量K，使得您的函数小于n*K，足够大n。

换句话说，对于足够大的n，它夹在两个线性函数之间：

对于k < K和n足够大，n*k < f(n) < n*K

Answer 3

Theta（n）：函数f(n)属于Theta(g(n))，如果存在正常量c1和c2，则f(n) 1}}可以夹在c1(g(n))和c2(g(n))之间。即它既给出上限也有下限。

Theta（g（n））= {f（n）：存在正常数c1，c2和n1，使得 0 <= c1（g（n））＆lt; = f（n）＆lt; = c2（g（n））所有n> = n1}

当我们说f(n)=c2(g(n))或f(n)=c1(g(n))时，它代表渐近紧束缚。

O（n）：它只给出上限（可能或可能不紧）

O（g（n））= {f（n）：存在正常数c和n1，使得对于所有n＆gt; = n1} 0 <= f（n）<= cg（n）

ex ：绑定的2*(n^2) = O(n^2)渐近紧，而绑定的2*n = O(n^2)并非渐近紧。

o（n）：它只给出上限（绝不是紧束缚）

O（n）＆amp;之间的显着差异o（n）是f（n）小于cg（n）对于所有n> = n1但不等于O（n）。

前：2*n = o(n^2)，但2*(n^2) != o(n^2)

Answer 4

Big Theta表示法：

没什么可惹的哥们！

如果我们有一个正值函数f（n）并且g（n）接受一个正值参数n，则ϴ（g（n））定义为{f（n）：存在常数c1，c2和n1全部n> = n1}

其中c1 g（n）<= f（n）<= c2 g（n）

让我们举个例子：

让f（n）=

g（n）=

c1 = 5和c2 = 8且n1 = 1

在所有表示法中，ϴ表示法提供了函数增长率的最佳直觉，因为它给了我们与big-oh和big-omega不同的紧密界限分别给出上限和下限。

ϴ告诉我们g（n）与f（n）接近，g（n）的增长率尽可能接近f（n）的增长率。

Answer 5

我希望您可能会在经典的CLRS（第66页）中找到以下内容：

Answer 6

首先是理论

大O =上限O（n）
Theta =阶函数-theta（n）
Omega = Q表示法（下限）Q（n）

为什么人们如此困惑？

在许多博客和书籍中，如何强调此声明就像

“这是大O（n ^ 3）”等。

人们常常喜欢天气

O（n）== theta（n）== Q（n）

但是需要牢记的是它们只是具有O，Theta和Omega名称的数学函数

所以它们具有相同的多项式通式

让我们

f（n）= 2n4 + 100n2 + 10n + 50那么，

g（n）= n4，所以g（n）是将函数作为输入并以更大的幂返回变量的函数，

以下所有说明的f（n）和g（n）相同

大O-功能（提供上限）

大O（n4）= 3n4，因为3n4> 2n4

3n4是Big O（n4）的值，就像f（x）= 3x

n4 在这里扮演 x 的角色，

用x'so代替n4，大O（x'）= 2x'，现在我们俩都很高兴通用概念是

所以0≤f（n）≤ O（x'）

O（x'）= cg（n）= 3n4

放入值

0≤2n4 + 100n2 + 10n + 50≤3n4

3n4是我们的上限

Theta（n）提供下界

Theta（n4）= cg（n）= 2n4，因为2n4≤我们的示例f（n）

2n4是Theta（n4）的值

所以，0≤cg（n）≤f（n）

0≤2n4≤2n4 + 100n2 + 10n + 50

2n4是我们的下界

Ωn-阶函数

计算得出的结果是天气下界类似于上限，

情况1）。上界类似于下界

if Upper Bound is Similar to Lower Bound, The Average Case is Similar

Example, 2n4 ≤ f(x) ≤ 2n4,
Then Omega(n) = 2n4

情况2）。如果上界与下界不相似

in this case, Omega(n) is Not fixed but Omega(n) is the set of functions with the same order of growth as g(n).

Example 2n4 ≤ f(x) ≤ 3n4, This is Our Default Case,
Then, Omega(n) = c'n4, is a set of functions with 2 ≤ c' ≤ 3

希望这个解释！

大Ө符号究竟代表什么？

6 个答案: