Question

我可以清楚地看到N ^ 2受到c2 ^ N的限制，但我如何通过使用big-O的正式定义来证明它。我可以简单地通过M.I.证明。

这是我的尝试.. 根据定义，对于任何n> n0，存在常数C f（n）＆lt; = Cg（n）哪里 f（n）= n ^ 2 和 g（n）= 2 ^ n

我应该将日志带到两边并解决C吗？

还有一个关于斐波纳契序列的问题，我想解决递归关系。

int fib(int n){
   if(n<=1) return n;
   else return fib(n-1) + fib(n-2);

等式是......

T(n) = T(n-1)+T(n-2)+C // where c is for the adding operation

所以

T(n) = T(n-2) + 2T(n-3) + T(n-4) + 3c

还有一个

T(n) = T(n-3) + 3T(n-4) + 3T(n-5) + T(n-6) + 6c

然后我开始迷失形成一般方程式i 这种模式有点像帕斯卡三角形？

 t(n) = t(n-i) + aT(n-i-1) + bT(n-i-2) + ... + kT(n-i-i) + C

Answer 1

正如你所指出的，看看 f（x）εO（g（x））你需要找到......

使得 f（x）<所有 x＆gt;的c·g（x） X <子> 0

在这种情况下，您可以选择 c = 1 和 x ₀ = 2 。您需要证明的是

x ²＆lt;所有 x> 2 ^x 2

此时您可以记录双方（因为如果记录（ x ）＆gt; log（ y ），那么 x＆gt; y 。）假设您使用的是base-2 log，那么您将获得以下内容

log（x ²）＆lt;日志（2 ^X）

根据对数的标准定律，你得到

2·log（x）＆lt; X·日志（2）

由于 log（2）= 1 ，因此可以写为

2·log（x）＆lt; X

如果我们设置 x = 2，我们会得到

2·log（2） = 2

并且由于 x 比 log（x）增长得快，我们知道 2·log（x）＆lt; x 适用于所有 x＆gt; 2

Answer 2

改进接受的答案：

你必须证明x ^ 2＆lt;所有x> 2的x ^ 2

双方登录，我们必须证明： 2·log（x）＆lt; x表示所有x＆gt; 2

因此，我们必须显示所有x> 2的函数h（x）= x-2·log（x）> 0

H（2）= 0

区分h（x）相对于x，我们得到h'（x）= 1 - 1 /（x·ln（2））

对于所有x> 2，h'（x）总是大于0，因此h（x）保持增加，并且因为h（2）= 0，因此证明h（x）>所有x> 0的0 2，或x ^ 2＆lt;所有x> 2的x ^ 2

Answer 3

在大多数情况下，接受的答案（来自 aioobe）是正确的，但需要进行重要的更正。

是的，对于 x=2，2×log(x) = x 或 2×log(2) = 2 是正确的，但随后他错误地暗示了2×log(x) < x 对所有 x>2 为真，但不为真。

让我们取 x=3，所以等式变成：2×log(3) < 3（一个无效的等式）。

如果你计算这个，你会得到：2×log(3) ≈ 3,16993，它大于 3。

如果绘制 f(x) = x² 和 g(x) = 2^x，您可以清楚地看到这一点 或者如果您绘制 f(x)= 2×log(x) 和 g(x) = x（如果 c=1）。

在 x=2 和 x=4 之间，您可以看到 g(x) 将低于 f(x)。只有当 x ≥ 4 时，f(x) 才会保持 ≤ c×g(x)。

所以为了得到正确的答案，你按照 aioobe 的答案中描述的步骤，但是你绘制函数以获得最后交集，其中 f(x) = c×g(x )。那个交点处的 x 是你的 x₀（连同选择的 c），以下是正确的：f(x) ≤ c×g(x ) 对于所有 x ≥ x₀。

所以对于 c=1 应该是：对于所有 x≥4，或 x₀=4