在尝试理解 Theta 和 O 符号之间的区别时，我发现了以下声明：
The Theta-notation asymptotically bounds a function from above and below. When
we have only an asymptotic upper bound, we use O-notation.
但我不明白这一点。这本书以数学的方式解释了它，但它太复杂了，当我真的不理解时，阅读起来真的很无聊。
任何人都可以使用简单但功能强大的示例来解释两者之间的区别。
答案 0 :(得分：40)
Big O只给出上渐近界，而大Theta也给出了下界。
Theta(f(n))的所有内容也是O(f(n))，但不是相反。
如果T(n) Theta(f(n))
O(f(n))被称为Omega(f(n))
由于这个原因， big-Theta比big-O 符号更具信息性，所以如果我们可以说一些东西是大-Theta，那通常是首选。然而，证明某些东西是大的Theta比证明它是大O更难。
对于示例，merge sort同时为O(n*log(n))和Theta(n*log(n))，但它也是O（n 2 ），因为n 2 渐近“大于”。但是，它不是Theta（n 2 ），因为算法不是Omega（n 2 ）。
Omega(n)是渐近下界。如果T(n)为Omega(f(n))，则表示从某个n0开始，C1为常量T(n) >= C1 * f(n)。而大O表示有一个C2常数T(n) <= C2 * f(n))。
所有三个（Omega，O，Theta）仅提供渐近信息（“用于大输入”）：
请注意，此表示法不与算法的最佳，最差和平均案例分析相关。这些中的每一个都可以应用于每个分析。
答案 1 :(得分：8)
我将引用 Knuth的TAOCP第1卷 - 第110页（我有印度版）。我建议阅读第107-110页（第1.2.11节渐近表示）
人们经常通过假设它给出一个确切的增长顺序来混淆O符号;他们使用它就好像它指定了下限和上限。例如，算法可能被称为低效，因为其运行时间为O（n ^ 2）。但是O（n ^ 2）的运行时间并不一定意味着运行时间也不是O（n）
在第107页，
1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + ... + n ^ 2 = O（n ^ 4）和
1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + ... + n ^ 2 = O（n ^ 3）和
1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + ... + n ^ 2 =（1/3）n ^ 3 + O（n ^ 2）
Big-Oh适用于近似值。它允许你用等号=符号替换〜。在上面的例子中，对于非常大的n，我们可以确定数量将保持在n ^ 4和n ^ 3以及（1/3）n ^ 3 + n ^ 2 [并且不仅仅是n ^ 2]
Big Omega用于下限 - 具有Omega（n ^ 2）的算法不如具有大N的O（N logN）的算法有效。但是，我们不知道N的值是多少（在那个感觉我们大致知道）
Big Theta是针对增长的确切顺序，包括下限和上限。
答案 2 :(得分：5)
这是我的尝试：
函数f(n)为O(n)，当且仅当存在常量c时才f(n) <= c*g(n)。
使用此定义，我们可以说函数f(2^(n+1))是O(2^n)吗？
换句话说，'c'是否存在常数2^(n+1) <= c*(2^n)？注意第二个函数（2^n）是上述问题中Big O之后的函数。起初这让我很困惑。
因此，请使用您的基本代数技巧来简化该等式。 2^(n+1)分解为2 * 2^n。这样做，我们留下：
2 * 2^n <= c(2^n)
现在很简单，该等式适用于c c >= 2的任何值。所以，是的，我们可以说f(2^(n+1))是O(2^n)。
Big Omega以相同的方式工作，除了它评估f(n) ＆gt; = c*g(n)一些常量'c'。
因此，以相同的方式简化上述功能，我们留下（请注意＆gt; = now）：
2 * 2^n >= c(2^n)
因此，该等式适用于范围0 <= c <= 2。所以，我们可以说f(2^(n+1))是{Ometesga的(2^n)。
现在，由于那些人持有，我们可以说这个函数是Big Theta（2^n）。如果其中一个不能用'c'的常数，那么它不是大Theta。
上面的例子来自Skiena的算法设计手册，这是一本很棒的书。
希望有所帮助。这真的是一个简化的难题。不要过多地关注'c'的内容，只需将其分解为更简单的术语并使用您的基本代数技巧。
答案 3 :(得分：4)
我将用一个例子来说明差异。
将函数f（n）定义为
if n is odd f(n) = n^3
if n is even f(n) = n^2
来自CLRS
如果存在正数，则函数f（n）属于集合Θ（g（n）） 常数c1和c2使得它可以“夹在”c1g（n）之间 和c2g（n），足够大的n。
和
O（g（n））= {f（n）：存在正常数c和n0，使得0≤ 对于所有n≥n0}，f（n）≤cg（n）。
和
Ω（g（n））= {f（n）：存在正常数c和n0，使得0≤ 所有n≥n0}的cg（n）≤f（n）。
f（n）的上限是n ^ 3。所以我们的函数f（n）显然是O（n ^ 3）。
但它是Θ（n ^ 3）？
对于f（n）在Θ（n ^ 3）中，它必须夹在两个函数之间，一个形成下界，另一个上界，两者都在n ^ 3处生长。虽然上限是明显的，但下限不能是n ^ 3。下限实际上是n ^ 2; f（n）是Ω（n ^ 2）
来自CLRS
对于任何两个函数f（n）和g（n），我们有f（n）=Θ（g（n））if和 只有当f（n）= O（g（n））且f（n）=Ω（g（n））时才有。
因此f（n）不在Θ（n ^ 3），而在O（n ^ 3）和Ω（n ^ 2）
答案 4 :(得分：4)
如果运行时间以big-O表示法表示，则表示运行时间不会比给定表达式慢。它表达了最糟糕的情况。
但是使用Theta符号你也知道它不会更快。也就是说，没有最佳情况下算法会更快地重新调整。
这给出了预期运行时间的更精确限制。然而，对于大多数目的而言，忽略下限（更快执行的可能性）更简单，而您通常只关注最坏情况。
答案 5 :(得分：0)
在非常简单的语言中，差异是这样的：
Big O表示法用于算法的最坏情况分析。 Big Omega用于算法的最佳案例分析。 当最佳情况和最坏情况分析相同时，将Big Theta用于算法分析。
假设您正在使用二进制搜索算法在排序数组中寻找数字。
[1 2 3 4 5 6 7]
在最坏的情况下，例如目标为1时，它必须执行log（n）拆分检查，在本例中为log（7）。可以表示为O（n）。
在最佳情况下，例如当目标为3时，它仅执行一次操作。可以表示为Ω（1）