运行时间是多少：T（n）= 2T（n-1）+ 3T（n-2）+ 1

Question

据我所知，它类似于具有指数运行时间的斐波纳契数列。然而，这种递归关系有更多的分支。 T(n) = 2T(n-1) + 3T(n-2)+ 1的渐近界是什么？

Answer 1

这种类型的重复被称为：non-homogeneous recurrence relations，你必须在开始时求解均匀重复（最后没有常数的那个）。如果你有兴趣，请阅读它背后的数学。

我会告诉你一个简单的方法。只需在wolfram-alpha中输入等式即可得到：

，

这显然是一个指数复杂性：O(3^n)

Answer 2

通常，你需要对T（0）和T（1）做一些假设，因为它们会有指数多个，它们的值可能决定T（n）的函数形式。但是在这种情况下似乎并不重要。

然后，可以通过找到它们的特征多项式来求解这种形式的递归关系。我发现了这篇文章：http://www.wikihow.com/Solve-Recurrence-Relations

我获得了根3和1的特征多项式，因此猜测形式T(n) = c_1*3^n + c_2。特别是，T(n) = 1/2*3^n - 1/4满足递归关系，我们可以验证这一点。

1/2*3^n - 1/4 = 2*T(n-1) + 3*T(n-2) + 1
              = 2*(1/2*3^(n-1) - 1/4) + 3*(1/2*3^(n-2) - 1/4) + 1
              = 3^(n-1) - 1/2 + 1/2*3^(n-1) - 3/4 + 1
              = 3/2*3^(n-1) - 1/4
              = 1/2*3^n - 1/4

因此它会给T(n) = Theta(3^n)。但是，这可能不是唯一能够满足重现的函数，其他可能性也取决于您定义的值T(0)和T(1)，但它们都应该是O(3^n)。