快速稀疏矩阵乘法

Question

对于类I我必须为稀疏矩阵编写自己的线性方程求解器。 我可以自由地为稀疏矩阵使用任何类型的数据结构，我必须实现几个解，包括共轭渐变。

我想知道是否存在一种存储稀疏矩阵的着名方法，以便使用向量进行乘法相对较快。

现在，我的稀疏矩阵基本上实现了一个包装std::map< std::pair<int, int>, double>，它存储数据（如果有的话）。这将矩阵与向量的乘法转换为O（n²）复杂度到O（n²log（n）），因为我必须对每个矩阵元素进行查找。 我查看了耶鲁稀疏矩阵格式，似乎元素的检索也在O（log（n））中，所以我不确定它是否会更快。

作为参考，我有一个800x800矩阵，填充了5000个条目。使用共轭梯度法大约需要450秒来解决这样的系统。

您认为使用其他数据结构可以更快地完成吗？

谢谢！

Answer 1

最常见的选择是CSC or CSR storage。这些对于矩阵向量乘法都是有效的。如果你必须自己编写，那么编写这些乘法例程也很容易。

也就是说，耶鲁存储也产生非常有效的矩阵向量乘法。如果您正在执行矩阵元素查找，那么您误解了如何使用该格式。我建议你研究一些标准的稀疏库，以了解如何实现矩阵向量乘法。

即使使用当前存储，您也可以执行O（n）复杂度的矩阵乘法。我见过的所有稀疏矩阵向量乘法算法归结为相同的步骤。例如，考虑y = Ax。

1. 将结果向量归零，y。
2. 为矩阵的非零元素A。
初始化迭代器
3. 获取矩阵的下一个非零元素，A [i，j]说。请注意，i，j的模式不遵循常规模式。它只是反映了存储A的非零元素的顺序。
4. y [i] + = A [i，j] * x [j]
5. 如果有更多元素A，请转到3。

我怀疑你正在编写经典的双循环密集乘法代码：

for (i=0; i<N; i++)
    for (j=0; j<N; j++)
        y[i] += A[i,j]*x[j]

这就是导致你执行查找的原因。

但我并不是说你坚持使用std::map存储空间。这不会超级高效。我推荐CSC主要是因为它是使用最广泛的。