Question

我在Python中有两个递归函数，只是想知道它们的Big O表示法。每个人的大O是什么？

def cost(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return cost(n-1) + cost(n-1)

def cost(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return 2*cost(n-1)

Answer 1

让我们用递归关系来解决这个问题！第一个函数的运行时可以递归描述为

T（0）= 1

T（n + 1）= 2T（n）+ 1

也就是说，基本情况需要一个时间单位才能完成，否则我们会对较小的问题实例进行两次递归调用，并进行一些设置和清理工作。在此重复中扩展一些术语，我们得到

T（0）= 1
T（1）= 2T（0）+ 1 = 2 + 1 = 3
T（2）= 2T（1）+ 1 = 2×3 + 1 = 7
T（3）= 2T（2）+ 1 = 2×7 + 1 = 15

这个系列1,3,7,15 ......可能看起来很熟悉，因为它是2 ¹ - 1,2 ² - 1,2 ³ - 1等。更一般地说，我们可以证明

T（n）= 2 ^{n + 1} -1

我们可以通过归纳来做到这一点。作为我们的基本情况，T（0）= 1 = 2 ¹ - 1，因此声明适用于n = 0.现在假设对于某些n，T（n）= 2 ^{n +1} - 1.然后我们有

T（n + 1）= 2T（n）+ 1 = 2（2 ^{n + 1} -1）+ 1 = 2 ^{n + 2} - 2 + 1 = 2 ^{n + 2} - 1

我们已经完成了！由于这个重复发生到2 ^{n + 1} - 1 = 2（2 ⁿ） - 1，我们得到运行时为Θ（2 ⁿ）。

第二个函数的运行时可以递归描述为

T（0）= 1

T（n + 1）= T（n）+ 1

扩展一些条款：

T（0）= 1
T（1）= T（0）+ 1 = 1 + 1 = 2
T（2）= T（1）+ 1 = 2 + 1 = 3
T（3）= T（2）+ 1 = 3 + 1 = 4

这给出了1,2,3,4 ......，所以更一般地说我们可能会猜到

T（n）= n + 1

我们可以再次证明这一点。作为基本情况，如果n = 0，则T（0）= 1 = 0 + 1.对于归纳步骤，假设对于某些n，T（n）= n + 1.然后

T（n + 1）= T（n）+ 1 = n + 1 + 1 = n + 2

我们已经完成了！由于运行时为n + 1，因此运行时为Θ（n）。

希望这有帮助！

Answer 2

使用递归树查找费用（通过可视化图表）。

函数成本（n）的递归关系

                    T(n) = 2T(n-1)+c

enter image description here

If at kth level input size become 0 (base condition where func terminates)
                                           n-k =0
                                              k=n


Total cost of the function (adding cost of each level) :
             T(n) = 2^0*c+ 2^1*c + 2^2*c + 2^3*c +.. .. . .+ 2^n * c
                  = O(2^n)

类似的方式我们可以找到第二个函数的时间复杂度。

两个简单递归函数的Big-O表示法

2 个答案: