Question

我正在网上阅读这篇文章，其中提到使用“if语句”和“abs（）”函数会在MATLAB的变步长ODE求解器（如ODE45）中产生负面影响。根据OP，它可以显着影响时间步长（需要太低的时间步长），并且当微分方程最终被积分时给出差的结果。我想知道这是否属实，如果是，为什么。此外，如果不诉诸固定步骤求解器，如何减轻这个问题。我在下面给出了一个示例代码，我的意思是：

function [Z,Y] = sauters(We,Re,rhos,nu_G,Uinj,Dinj,theta,ts,SMDs0,Uzs0,...
Uts0,Vzs0,zspan,K)

Y0 = [SMDs0;Uzs0;Uts0;Vzs0]; %Initial Conditions
options = odeset('RelTol',1e-7,'AbsTol',1e-7); %Tolerance Levels
[Z,Y] = ode45(@func,zspan,Y0,options);

function DY = func(z,y)

    DY = zeros(4,1);

    %Calculate Local Droplet Reynolds Numbers
    Rez = y(1)*abs(y(2)-y(4))*Dinj*Uinj/nu_G;
    Ret = y(1)*abs(y(3))*Dinj*Uinj/nu_G;

    %Calculate Droplet Drag Coefficient
    Cdz = dragcof(Rez);
    Cdt = dragcof(Ret);

    %Calculate Total Relative Velocity and Droplet Reynolds Number
    Utot = sqrt((y(2)-y(4))^2 + y(3)^2);
    Red = y(1)*abs(Utot)*Dinj*Uinj/nu_G;

    %Calculate Derivatives
    %SMD
    if(Red > 1)
        DY(1) = -(We/8)*rhos*y(1)*(Utot*Utot/y(2))*(Cdz*(y(2)-y(4)) + ...
            Cdt*y(3)) + (We/6)*y(1)*y(1)*(y(2)*DY(2) + y(3)*DY(3)) + ...
            (We/Re)*K*(Red^0.5)*Utot*Utot/y(2);
    elseif(Red < 1)
        DY(1) = -(We/8)*rhos*y(1)*(Utot*Utot/y(2))*(Cdz*(y(2)-y(4)) + ...
        Cdt*y(3)) + (We/6)*y(1)*y(1)*(y(2)*DY(2) + y(3)*DY(3)) + ...
        (We/Re)*K*(Red)*Utot*Utot/y(2);
    end
    %Axial Droplet Velocity
    DY(2) = -(3/4)*rhos*(Cdz/y(1))*Utot*(1 - y(4)/y(2));
    %Tangential Droplet Velocity
    DY(3) = -(3/4)*rhos*(Cdt/y(1))*Utot*(y(3)/y(2));
    %Axial Gas Velocity
    DY(4) = (3/8)*((ts - ts^2)/(z^2))*(cos(theta)/(tan(theta)^2))*...
        (Cdz/y(1))*(Utot/y(4))*(1 - y(4)/y(2)) - y(4)/z;

end

end

以下给出“dragcof”函数：

function Cd = dragcof(Re)    
if(Re <= 0.01)

    Cd = (0.1875) + (24.0/Re);

elseif(Re > 0.01 && Re <= 260.0)

    Cd = (24.0/Re)*(1.0 + 0.1315*Re^(0.32 - 0.05*log10(Re)));

else

    Cd = (24.0/Re)*(1.0 + 0.1935*Re^0.6305);
end
end

Answer 1

这是因为使用if - 语句，模数运算（abs()）计算的导数，或者单位阶跃函数，dirac delta等等，将会导致价值的不连续性。解或其衍生物，导致扭结，跳跃，拐点等。

这意味着ODE的解决方案在相关时间的行为发生了彻底的变化。变量步进积分器将做什么

检测到此
认识到他们无法直接使用“问题点”之外的信息
减少步骤，并从顶部重复，直到问题点满足精度要求

因此，在问题点附近会有许多失败的步骤和步长的减少，从而对整体积分时间产生负面影响。

可变步长积分器将继续产生良好的结果。恒定步长积分器不是解决此类问题的良好补救措施，因为它们首先无法检测到这些问题（没有错误估计）。

您可以做的只是将问题分成多个部分。如果您事先知道将发生更改的时间点，则只需为每个间隔启动一个新的集成，每次使用前一个集成的输出作为下一个集成的初始值。

如果不事先知道问题所在，您可以在Matlab的ODE求解器中使用这个非常好的功能，称为事件函数（参见the documentation }）。你让Matlab的一个求解器检测到事件（导数中的符号变化，if - 语句中的条件变化，或其他），并在检测到这些事件时终止积分。然后开始一个新的集成，从上一次开始，并与之前的集成的初始条件一样，如前所述，直到达到最终时间。

总体执行时间仍然会有轻微的损失，因为Matlab会尝试准确地检测事件的位置。但是，当涉及到执行时间和结果的准确性时，它仍然比盲目地运行集成要好得多。

Answer 2

是的，这是真的，因为你的解决方案在某些方面不够顺畅。

假设您想要整合。 y'(t) = f(t,y)。然后，f中发生的事情就是集成到y。因此，如果您在f的定义中有

abs()，然后f有一个扭结，y仍然是平滑的，1次可区分
if，然后f跳跃，y扭结，不再具有差异性

Matlab的ODE45假设你的解决方案是5倍可微分，并试图确保4阶的准确性。你的功能的非光滑点被误解为刚度导致小步长甚至故障。

你可以做什么：由于缺乏光滑度，你无论如何都不能期望高精度。因此，ODE23可能是更好的选择。在最坏的情况下，你必须坚持一阶方案。

Matlab：if语句和abs（）函数在变步长ODE求解器中

2 个答案: