是log（n！）=Θ（n·log（n））？

Question

我要表明日志（ n ！）=Θ（ n ·log（ n ））

提示我应该用 n ⁿ 显示上限并显示下限（ n / 2）^{（ n / 2）} 。这对我来说似乎并不那么直观。那为什么会这样？我绝对可以看到如何将 n ⁿ 转换为 n log（ n ）（即记录等式的两边），但那是倒退的。

解决这个问题的正确方法是什么？我应该绘制递归树吗？关于这一点没有任何递归，所以这似乎不是一种可能的方法..

Answer 1

请记住

log(n!) = log(1) + log(2) + ... + log(n-1) + log(n)

您可以通过

获得上限

log(1) + log(2) + ... + log(n) <= log(n) + log(n) + ... + log(n)
                                = n*log(n)

你可以在扔掉总和的前半部分之后通过做类似的事情来获得下限：

log(1) + ... + log(n/2) + ... + log(n) >= log(n/2) + ... + log(n) 
                                       = log(n/2) + log(n/2+1) + ... + log(n-1) + log(n)
                                       >= log(n/2) + ... + log(n/2)
                                        = n/2 * log(n/2) 

Answer 2

我意识到这是一个非常古老的问题，并且已经接受了答案，但这些答案实际上并没有使用提示建议的方法。

这是一个非常简单的论点：

n!（= 1 * 2 * 3 * ... * n）是n个数字的乘积，每个数字小于或等于n。因此，它小于n个数字的乘积，均等于n;即，n^n。

n/2产品中的一半数字（即n!）大于或等于n/2。因此，他们的产品大于n/2数字的乘积，均等于n/2;即(n/2)^(n/2)。

记录整个日志以确定结果。

Answer 3

请参阅Stirling's Approximation：

  

ln（n！）= n * ln（n） - n + O（ln（n））

其中最后两个术语不如第一个术语重要。

Answer 4

对于下限，

lg(n!) = lg(n)+lg(n-1)+...+lg(n/2)+...+lg2+lg1
       >= lg(n/2)+lg(n/2)+...+lg(n/2)+ ((n-1)/2) lg 2 (leave last term lg1(=0); replace first n/2 terms as lg(n/2); replace last (n-1)/2 terms as lg2 which will make cancellation easier later)
       = n/2 lg(n/2) + (n/2) lg 2 - 1/2 lg 2
       = n/2 lg n - (n/2)(lg 2) + n/2 - 1/2
       = n/2 lg n - 1/2

lg（n！）＆gt; =（1/2）（n lg n - 1）

结合两个界限：

1/2（n lg n - 1）＆lt; = lg（n！）＆lt; = n lg n

通过选择大于（1/2）的下界常数，我们可以在括号内补偿-1。

因此lg（n！）= Theta（n lg n）

Answer 5

抱歉，我不知道如何在stackoverflow上使用LaTeX语法..

Answer 6

帮助你进一步，Mick Sharpe离开你的地方：

它的派生很简单： 见http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm - ＆gt;群论

  

log（n！）= log（n *（n-1）*（n-2）* ... * 2 * 1）= log（n）+ log（n-1）+ ... + log（2）+ log（1）

将n视为无限大。什么是无限减一？还是减去两个？等

  

log（inf）+ log（inf）+ log（inf）+ ... = inf * log（inf）

然后将 inf 视为n。

Answer 7

谢谢，我发现你的答案令人信服但在我的情况下，我必须使用Θ属性：

log(n!) = Θ(n·log n) =>  log(n!) = O(n log n) and log(n!) = Ω(n log n)

验证我发现此网站的问题，您已解释了所有流程：http://www.mcs.sdsmt.edu/ecorwin/cs372/handouts/theta_n_factorial.htm

Answer 8

这可能会有所帮助：

eln(x) = x

和

(lm)n = lm*n

Answer 9

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation 斯特林近似可能会对你有所帮助。这对于处理与10 ^ 10及以上数量级的大量数相关的因子问题非常有帮助。