假设我有一个带有2 ^ N - 1个节点的图形，编号为1到2 ^ N - 1.如果j的二进制表示中的所有位都是1，则节点i“依赖于”节点j，也是1在i的二进制表示中。因此，例如，如果N = 3，则节点7依赖于所有其他节点。节点6依赖于节点4和2。
问题在于消除节点。如果没有其他节点依赖它，我可以消除节点。没有节点依赖于7;因此我可以消除7.消除7之后，我可以消除6,5和3等。我想要的是找到一个有效的算法来列出所有可能的唯一消除路径。 （也就是说，7-6-5与7-5-6相同，所以我们只需要列出其中一个）。我已经有了一个愚蠢的算法，但我认为必须有更好的方法。
我有三个相关的问题：
此问题是否具有通用名称？
解决问题的最佳方法是什么？
是否有唯一排除路径数的通用公式？
编辑：我应该注意，根据定义，节点不能依赖于自身。
Edit2：让S = {s_1, s_2, s_3,...,s_m}成为所有m有效排除路径的集合。 s_i和s_j是“等效的”（就我的目的而言）如果两个淘汰s_i和s_j在淘汰后会导致相同的图表。我想更清楚一点，我可以说我想要的是有效消除步骤产生的所有唯一图形的集合。
Edit3：请注意，消除路径的长度可能不同。对于N = 2，5个有效消除路径是(),(3),(3,2),(3,1),(3,2,1)。对于N = 3，有19条唯一路径。
Edit4：Re：我的应用程序 - 应用程序在统计中。给定N个因子，统计模型中有2 ^ N - 1个可能的项（见http://en.wikipedia.org/wiki/Analysis_of_variance#ANOVA_for_multiple_factors），它们可以包含主效应（仅因子）和各种（2,3，...方式）相互作用。因素。但是，如果存在所有子交互（或主要效果），则交互只能存在于模型中。例如，对于三个因素a，b和c，如果所有组成的双向互动（{{{3}，那么3种互动a:b:c只能存在。存在1}}，a:b，a:c）（同样适用于双向）。因此，不允许使用模型b:c。我正在寻找一种快速生成所有有效模型的方法。
答案 0 :(得分：1)
在集合方面考虑这一点似乎更容易：您正在寻找{1，...，N}子集的族，这样对于族中的每个集合，其所有子集都存在。每个这样的族由包含方式的最大集确定，其必须重叠。成对重叠集的族称为Sperner families。因此，您正在寻找Sperner家族，以及家族中所有子集的联合。可能已知的用于计算Sperner家族或反链的算法通常是有用的;在不知道你真正想要用它们做什么的情况下，很难说清楚。
答案 1 :(得分：1)
感谢@FalkHüffner的回答，我看到我想要做的就是找到N个参数的单调布尔函数。如果您查看维基百科页面上的Dedekind数字（http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_number）的图，该图以图形方式表示问题。有一种生成单调布尔函数（http://www.mathpages.com/home/kmath094.htm）的算法，构造起来非常简单。
出于我的目的，我使用算法，然后消除生成的二进制数组的第一列和最后一行。从顶行开始，如果可以消除1节点，则每行在i列中都有i。
谢谢！
答案 2 :(得分：0)
您可以构建一个“堆”，其中深度X是所有在其二进制表示中都有X个零的节点。
然后，从底层开始，将每个项目连接到上面一层的随机父项，直到获得单组分图形。
请注意，此图表是树，即除root之外的每个节点都只有一个父节点。
然后，遍历树（从根开始）并计算其中的路径总数。
上面的方法很糟糕，因为你不能只选择一个给定项目的随机父项 - 你有一个有限数量的项目，你可以从中挑选一个“合法的”父项...但我在这里留下这个方法让其他人发表意见（也许并非“那么糟糕”）。
在任何情况下，为什么不采用图表，提取生成树（您可以使用Prim算法或Kruskal算法来查找最小生成树），然后计算其中的路径数量？