Question

我一直在尝试编写一个算法，该算法采用一组有向节点（我现在表示为稀疏的有向邻接矩阵），比如A，B，C和D，当被调用时，给出了包含给定路径（例如AB或AD）的所有可能路径。节点无法连接到自身，并且最终将所有节点定向为从A流向D.

到目前为止，我已尝试编写一个递归python脚本，但成功有限 - 我的图论不强（我实际上没有背景）。任何人都可以提供任何帮助，我应该感谢。

作为免责声明 - 这不是家庭作业（我只是尝试处理大型数据集并为某些研究建立个人库），我已经看了几个小时的“类似问题”，但主要是没有用（除了前面提到的递归python脚本）。

感谢。

Answer 1

首先解决更简单的问题：给定DAG中的两个点A和B，您可以计算所有以A开头并以B结尾的路径吗？（“路径”定义为边的列表，其中一个端节点等于下一个节点的起始节点。）

听起来很难。我们可以简化吗？

很明显，最简单的情况是A和B实际上是同一个节点。在这种情况下，路径为零，因为图形是非循环的。

假设A和B不同。 WOLOG假设A恰好有两个邻居C和D，它们都不是B.从A到B的路径数必须等于从C到B的路径数，再加上从D到B的路径数。

更一般地说：如果A有n个邻居，其中没有一个是B，那么找到从每个邻居到B的路径数并将它们相加。

如果A 有邻居B，那么不要忘记在路径A-> B的总数中加一。

现在我们将其分解为许多子问题，每个子问题都严格小于上一个问题。

你会认为一个简单的递归解决方案可以解决这个问题，但不幸的是它没有。考虑一下这个图：

从A到B的路径等于从C到B的路径加上从D到B的路径。所以计算这些路径。
从C到B的路径等于从E到B的路径。
从D到B的路径等于从E到B的路径。

而且......我们只计算了从E到B两次的路径。这将依次计算从H到B的路径两次，总共四次。我绘制的算法最终可以计算相同的事情2 ⁿ次，其中n与图中节点的数量成正比！

你需要做的是制作一个记忆器，这样一旦答案被计算一次，它就再也不会被计算出来了。

因此，通过制作一个计算两个给定节点之间路径总数的递归，记忆算法来解决更简单的问题。

所以让我们试一试。从A到B有多少条路径？我们用ab表示。我们计算：

ab = cb + db, but we don't know them...
  cb = eb, but we don't know it...
    eb = fb + gb, but we don't know them...
      fb = hb, but we don't know it...
        hb = ib + jb, but we don't know them...
          ib = 1
          jb = 1
        therefore hb = 2
      therefore fb = 2
    gb = hb, but we already know that is 2
    therefore eb = 4
  therefore cb = 4
  db = eb, but we already know that is 4
therefore ab is 8

我们已经完成了。

一旦找到两个节点之间的路径数，就可以直接计算包含给定边的所有路径。例如，从A到B的路径通过E-G，等于从A到E的路径数乘以从G到B的路径数。

我们试一试。

ae = ce + de
  ce = 1
  de = 1
so ae = 2

gb = hb
  hb = ib + jb
    ib = 1
    jb = 1
  so hb = 2
so gb = 2

并且从A到B有ae * gb = 4路径通过EG。我们来看看我们的工作。路径是

AC-CE-EG-GH-HI-IB
AC-CE-EG-GH-HI-JB
AD-DE-EG-GH-HI-IB
AD-DE-EG-GH-HI-JB

是的，有四个。

有意义吗？

Answer 2

如果您愿意使用外部资源库，请查看networkx及其功能all_simple_paths。

假设您有一个包含来源s和接收t的DAG。要查找包含边a -> b的所有路径，请查找从s到a的所有路径，以及从b到t的所有路径，并获取笛卡尔积这两组路径。

包含特定链接的有向非循环图中的路径总数

2 个答案: