证明找到最小生成树的新算法的最优性

Question

下面是一个查找最小生成树的算法：

MSTNew(G, w)
   Z ← empty array
   for each edge e in E, taken in random order do
       Z ← Z ∪ e
       if Z has a cycle c then
           let e be a maximum-weight edge on c
           Z ← Z − e
   return (Z)

此算法是否始终返回最佳MST解决方案？

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我会说是的。它有点像伪装的Kruskals算法 - 排序。

作为图论的新手，我真的没有太多的想法。有人会有任何想法或建议吗？

Answer 1

是的，IMO算法输出最小生成树。

非正式证明：

在每次迭代中，我们只删除那个循环中最昂贵边缘的边。这样的边缘永远不能包含在MST中（通过交换参数）。因此，我们总是排除那些永远不能成为MST一部分的边缘。

此外，算法的输出始终是生成树，因为我们只在新边缘导致循环时才删除边缘。

但请注意，此算法的效率非常低，因为在每次迭代时，您不仅要检查周期（如Kruskal中），还要搜索周期中的最大成本优势。