在MATLAB中求解非线性方程组

Question

我遇到了必须解决的非线性方程组。 方程组可以写成： Ax + exp(x) = b b已知Nx1矩阵，A已知NxN矩阵，x未知Nx1向量必须解决。 exp在x向量上以元素方式定义。我试图搜索MATLAB手册，但我很难找到如何用MATLAB解决这种方程式，所以我希望有人可以帮助我。

Answer 1

你可以使用Newton-Raphson。将您的系统重新安排为零残差：

R

然后根据x

取dRdx = A + diag(exp(x)) 的导数

n = 3;

a = rand(n, n);
b = rand(n, 1);

% solve a * x + exp(x) = b for x

x = zeros(n, 1);

for itr = 1: 10
    x = x - (a + diag(exp(x))) \ (a * x + exp(x) - b);
end

然后迭代。示例如下所示：

<div id="skill">
    <div><span class="bar nrml"></span>
    <span class="bar moderate"></span><span class="bar severe"></span>
</div>

当然，你可以通过在残差足够小之后停止迭代来使这更加智能化。

Answer 2

我将以线性化系统[A+1]x(0)=b-1的解决方案作为初始猜测迭代地解决它，其中1是单位矩阵。在迭代过程的每一步，我都会在右侧添加前一个解决方案的指数：Ax(j)=b-exp(x(j-1))

Answer 3

我刚看到这是一个交叉帖子。

这是我对other posting：

的解决方案

该功能可以采用以下形式编写：

$$ f \ left（x \ right）= A x + \ exp \ left（x \ right） - b $$

一旦找到$ f \ left（x \ right）$的根，这相当于上面的内容 可以使用Newton's Method进行根查找。

$ f \ left（x \ right）$的Jacobian（类似于渐变的转置）由下式给出：

$$ J \ left（f \ left（x \ right）\ right）= A + diag \ left（\ exp \ left（x \ right）\ right）$$

因此牛顿迭代由下式给出：

$$ {x} ^ {k + 1} = {x} ^ {k} - {J \ left（f \ left（{x} ^ {k} \ right）\ right）} ^ { - 1 } f \ left（{x} ^ {k} \ right）$$

您可以在Mathematics Q1462386 GitHub Repository中看到代码，其中包括雅可比行列式的分析和数值推导。

这是一次运行的结果：

注意虽然它找到了这个问题的根，但是有超过1个根，因此解决方案是其中之一，取决于初始点。