Question

我再一次对Project Euler挑战感到高兴，我注意到我的12号解决方案是我在~593.275 ms每个月的最慢速度之一。这是我在~1254.593 ms每个月的第10号解决方案的第二位。我的所有其他答案在3 ms下的最佳状态下运行时间不到1 ms。

我的Problem 12 Java解决方案：

主要（）：

int index = 1;
long currTriangleNum = 1;

while (numDivisors(currTriangleNum) <= 500) {
    index++;
    currTriangleNum += index;
}

System.out.println(currTriangleNum);

numDivisors（）：

public static int numDivisors(long num) {  
    int numTotal = 0;

    if (num > 1)
        if (num % 2 == 0) {
            for (long i = 1; i * i <= num; i++)
                if (num % i == 0)
                    numTotal+=2;
        } else {
            // halves the time for odd numbers
            for (long i = 1; i * i <= num; i+=2)
                if (num % i == 0)
                    numTotal+=2;
    }
    else if (num == 0)
        return 0;
    else if (num == 1)
        return 1;
    else (num < 0)
        return numDivisors(num *= -1);

    return numTotal;
 }

环顾解决方案论坛，有些人发现these formulas（n =（p ^ a）（q ^ b）（r ^ c）...＆amp; d（n）=（a + 1））（b + 1）（c + 1）...）为他们工作，但我个人不知道它是如何更快;也许是手动更快，但不是在程序中。

基本的思考过程如下：

我们想要计算48中除数的数量。通过查看下面的因子树，我们可以推断出48 = (2^4)(3^1) [n =（p ^ a）（q ^ b）（r ^ c）。 ..]。

知道这一点，我们构造公式d(48) = (4+1)(1+1) [d（n）=（a + 1）（b + 1）（c + 1）...]以确定48有10个因子。

d(n)  = (a+1)(b+1)(c+1)...
d(48) = (4+1)(1+1)
d(48) = (5)(2)
d(48) = 10

如何优化代码？这些配方是最好的解决方案吗？我觉得找到所有主要因素，然后实施公式所需的时间比我已有的程序要长。

非常感谢，

瑞斯蒂昂

修改

在任何人开始发布链接之前，我已经在没有任何运气的情况下查看了类似的问题 - 我只是想不起他们的方法的实现会比我现有的更快。

EDIT2：

我在Eratosthenes筛选中的第二次尝试（针对问题10）：

int p = 3, n = 2000000;
long total = 0;
boolean[] sieve = new boolean[n];

for (int i = 3; i < n; i += 2)
    sieve[i] = true;

sieve[2] = true;

while (p * p < n) {
    for (int i = p; i < n; i++)
        if (sieve[i] && (i % p) == 0)
            sieve[i] = false;
    p++;

    while (!sieve[p])
        p++;
}

for (int i = 0; i < n; i++)
    if (sieve[i])
        total += i;

System.out.println(total);

在~985.399 ms运行 - 不比其他方法快，但尚未优化。然而，它有效。

Answer 1

使用基础数学结构，这将大大改变程序的运行时间。顺便说一下，这也适用于问题10;如果你不能在几毫秒内完成，你就使用了一种效率极低的算法。事实上，我建议你先解决问题10，因为问题12建立在它上面。

我将为下面的问题12提供更好的算法，但首先，这是一个观察，应该显着加快你的程序。如果两个数字x和y是互质的（即它们除1之外没有公约数），则d（x·y）= d（x）·d（y）。特别地，对于三角形数，d（n·（n + 1））= d（n）·d（n + 1）。因此，不是迭代三角形数n·（n + 1），而是遍历n：这将显着减小传递给d（n）的参数的大小。

如果你进行了这种优化，你会注意到你连续两次计算d（n）（一次为d（（n-1）+1），一次为d（n））。这表明缓存d的结果是个好主意。下面的算法可以实现它，但也可以自下而上计算自上而下，这样更有效，因为乘法比分解要快得多。

Problem 10可以通过sieve of Eratosthenes的简单应用来解决。填写一个大小为2000000的布尔数组（即位矢量），如果sieve[i]==true为素数则用i填充;然后总结sieve[i]==true。

的数字

Problem 12可以通过Eratosthenes筛子的推广来解决。而不是使sieve[i]表示i是否为素数的布尔值，而是使其成为一个数字，表示非素数的方式，即除数的数量。 i。可以很容易地修改Eratosthenes的基本筛子：不是将sieve[x*y]设置为false，而是添加1。

随后的一些项目Euler问题也受益于类似的方法。

您可能遇到的一个问题是，在问题12中，不清楚何时停止计算筛子。你可以通过两种方式解决它：
1.按需要按块计算筛子，这本身就是一项有价值的编程练习（这将需要更复杂的代码，第二种方法）
2.或者从高估一个界限开始：找到一个超过500个除数的三角形数字，你知道你将在那个数字之前或之前停止。

如果你意识到你只需要关心奇数就可以获得更多的时间，因为如果n是奇数，则d（2 ^ k·n）=（k + 1）·d（n），并找到k和n只给出（2 ^ k·n）在二进制计算机上很快。我将把优化的细节留作练习。

Answer 2

您是否考虑过进入主要因素，并跟踪素数以便您不必重新计算它们？

Answer 3

我刚才做过这个，所以我不记得所有的优化，这里有一些：

使用求和公式求和（1 ... n）
使用方法查找素数因子在问题7和问题中描述 10
根据其素数因子分析*

*如果您不知道“规则”，则将其视为概率问题。例如，你可以在咖啡中添加四种风味，你有多少选择？

需要帮助优化Project Euler问题＃12的解决方案

3 个答案: