拓扑排序

Question

给定具有N个节点的DAG，每个节点具有值（例如，0.2,0.5,1.3,0.1 ......）。我想将顶点排序成一个链。难点在于对​​节点进行排序时存在目标函数。

例如，链是x ---＆gt; y ---＆gt; z ---＆gt; W上。每个链接具有权重，对于（x，y）权重= x，链接（y，z）权重= xy，链接（z，w）权重= xyz等等。

目标函数是最小化所有链接权重的总和（此处为链：x + xy + xyz）。

我一直在考虑它。但我现在不知道。有人可以就算法设计或问题的复杂性证明提出一些想法吗？感谢。

Answer 1

这是kevmo314提到的算法，用Python实现。可能它应该在C中重新实现，逐位操作替换集合操作。

我们可以重写目标

x + x*y + x*y*z = x*(1 + y*(1 + z)),

因此，假设所有权重都是正数，则子问题目标中的总体目标是单调的，这允许动态编程。

def optimal_order(predecessors_map, weight_map):
    vertices = frozenset(predecessors_map.keys())
    memo_map = {frozenset(): (0, [])}
    return optimal_order_helper(predecessors_map, weight_map, vertices, memo_map)


def optimal_order_helper(predecessors_map, weight_map, vertices, memo_map):
    if vertices in memo_map:
        return memo_map[vertices]
    possibilities = []
    for v in vertices:
        if any(u in vertices for u in predecessors_map[v]):
            continue
        sub_obj, sub_order = optimal_order_helper(predecessors_map, weight_map, vertices - frozenset({v}), memo_map)
        possibilities.append((weight_map[v] * (1.0 + sub_obj), [v] + sub_order))
    best = min(possibilities)
    memo_map[vertices] = best
    return best


print(optimal_order({'u': [], 'v': ['u'], 'w': [], 'x': ['w']}, {'u': 1.2, 'v': 0.5, 'w': 1.1, 'x': 1.001}))