找到两条线的交点的公式

Question

如果两条线都由x，y，alpha定义，如何找到line1和lin2相交的点，其中x，y是一条线上一个点的坐标，alpha是线与x = const之间的角度？

我尝试应用正弦定理，但它产生两个答案（三角形可以在一条线的两边构建）。我可以检查哪个点与其中一个点形成正确的斜率，但这很难看。

我可以切换到y = ax + b表示，但是我有特殊情况我不得不担心。垂直和水平线应该不同，以避免在1 / sin（alpha）和1 / cos（alpha）情况下除以零。

我不是在寻找某种语言的实现，只是一个公式。

这些问题不相关，因为它们涉及有限线段，而不是线。

Given two points and two vectors, find point of intersection
How do you detect where two line segments intersect?

Answer 1

假设line 1和[x1, y1]以及alpha1 line 2和[x2, y2]定义了alpha2。

假设k1 = tan(alpha1)和k2 = tan(alpha2)。

然后交点的x坐标公式为

x = (y2 - y1 + k1 * x1 - k2 * x2) / (k1 - k2)

  

注意：对于角度tan（其中pi / 2 + k * pi是任意整数），函数k未定义，因此：

如果k1 未定义，则x = x1和y = y2 + k2 * (x1 - x2)

如果k2 未定义，则x = x2和y = y1 + k1 * (x2 - x1)

（两者在交换指数1＆lt; - ＆gt; 2时几乎相同）。

Answer 2

对于线方程Y = aX + b，您可以计算a = tan(alpha)。

因此，如果将line1定义为x，y和alpha，则等式为Y = tan(alpha) * X + b。

现在要找到b，你需要一个点。该点具有坐标（x，y）。

y = ax + b

b = y - ax

所以你的方程是：

Y = tan(alpha) * X + (y - tan(alpha) * x)

现在你只需解决线方程：

Y = a1 * X + b1

Y = a2 * X + b2

这是：

a1 * X + b1 = a2 * X + b2

(a1 - a2) * X = b2 - b1

X = (b2 - b1) / (a1 - a2)

现在你也可以计算Y.

因此，如果我们更换，我们获得：

X = ((y2 - tan(alpha2) * x2) - (y1 - tan(alpha1) * x1)) / (tan(alpha1) - tan(alpha2)

简化为：

X = (y2 - y1 - tan(alpha2) * x2 + tan(alpha1) * x1)) / (tan(alpha1) - tan(alpha2)

然后：

Y = tan(alpha1) * X + (y - tan(alpha1) * x