第二个for-loop的时间复杂度是多少？

Question

for(int i = 0; i < n; i++) {
    for(int j = 0; j < i; j++) { 
        //Code
    }
}

我知道第一个for循环是O（n），但是第二个呢？

Answer 1

第二个循环的复杂性实际上等于1 + 2 + 3 + 4 ... + n-1
或者：

  n-1
O( Σ )
  i=0

为什么-1？
因为你的for循环条件是<而不是<=
试试这个程序：

#include <iostream>

int main()
{
    for (int n = 0; n < 100; n++) {
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = 0; j < i; j++)
                count++;
        std::cout << "n = "<< n << " : " << count << std::endl;
    }
    while (1); // Yeah, I know....
}

您可以看到所有结果按n

的最后一个值递增

Answer 2

对于给定的代码，

for(int i = 0; i < n; i++) {
    for(int j = 0; j < i; j++) { 
        //Code
    }
}

外部循环执行O（n）次，如果仅考虑内部循环，则执行O（i）次。内循环中的代码执行的总次数是1 + 2 + 3 + ... + n-2 = （（n-2）*（n-1））/ 2 =（n ² -3n + 2）/ 2。因此，整个代码的复杂性是O（n ² ）。