指数/泊松分布

Question

汤姆进入了5人服务的岗位，每个人都是由不同的销售员。一旦目前正在接受治疗的5人中的任何一人完成任务，他将立即被召集。每个分类的每个人的服务时间具有指数分布，平均服务时间为5分钟，并且与所有其他服务时间无关。找出汤姆在被召唤之前必须等待超过2分钟的概率。

我正在努力确定如何设置，主要是因为有5个人在服务。

Answer 1

对于汤姆等待超过2分钟，5名职员中的每一名将需要在他们各自的客户上花费超过2分钟。因此，如果x是单个职员花费超过2分钟的概率（我会让你计算x），那么最终答案就是x到5的幂。这是一个联合概率分布。 P（汤姆等待超过2分钟）= P（职员1需要超过2分钟，职员2需要超过2分钟，等等。）= P（单个职员需要超过2分钟）^ 5。

Answer 2

以下是使用理论解决问题的方法（使用指数分布的无记忆属性，随机变量 iid 这一事实）使用R进行模拟：

# P(/\(X_i > 2)) = Prod_i(P((X_i > 2))), i=1,..,5, X_i ~ Exp(1/5) i.i.d., where /\ denotes intersection
# P((X_i > 2)) = F_X_i(2) = exp(-(1/5)*2), F is th CDF function

# with theory
(exp(-(1/5)*2))^5
# [1] 0.1353353

(1-pexp(2, rate=1/5))^5 
# [1] 0.1353353

# with simulation
set.seed(1)
res <- replicate(10^6,{rexp(5, rate=1/5)})
probs <- table(colSums(res > 2)) / ncol(res)

probs # prob that exactly i clerks will have service time > 2, i=1,..,5
# we are interested in the event that i = 5

#      0        1        2        3        4        5 
#0.003900 0.039546 0.161347 0.327012 0.332583 0.135612 

barplot(probs)