递归方程

Question

我有这个递归方程式： T（n）= T（n / 2）+ T（n / 5）+ T（n / 9）+Θ（n）

我像这样绘制递归树：

          cn
     /     |     \
   n/2    n/5    n/9
  / | \  / | \  / | \
  ..................

树有log（n）+ 1个级别，每个级别的节点数比上面的级别多3倍，子问题大小每次减少2倍。现在这就是我看到的总成本：

我忘了这样说：我的解决方案是否正确？

Answer 1

假设我们有一个更一般的关系：

其中f(n)是某种功能，例如cn。

如果我们将这个关系重新替换为自身，即每个递归调用，则生成的下一层递归调用将使其参数乘以相应的因子：

如果我们继续，模式由这个表达式给出：

...即Trinomial expansion。每个T项的系数由三项式系数给出，而参数由λμν的不同幂给出：

正如您从扩展中看到的那样，f - 术语在T - 术语后面是一个递归级别。因此，所有f条款的总和，考虑到它们必须累积，而不是T - 条款：

以上所有内容均可通过归纳进行验证，并且可归于任何次递归调用。

我们什么时候终止，即摆脱T条款？正如我在评论中所说，当递归到达最长路径的末尾时。这是通过考虑最慢的减少期限（正如你正确推断）给出的：

  

因此，时间复杂度函数的最紧密的封闭形式是   由下式给出：

     

如果f(n)具有n的某种力量，则很容易评估。

例如，f(n) = Θ(n), α = β = γ = 1, λ = 2, μ = 5, ν = 9。因此：

括号内的术语正好之前的三项式扩展。因此：

从τ < 1开始，指数项就会消失。因此T(n) = O(n)。

数值测试证实了这一点：

n         T(n)
-----------------------------
10        21.86111111
100       328.1442901
1000      3967.333431
10000     44150.87621
100000    471262.9357
1000000   4910520.041
10000000  50415530.84

log-log T(n)针对n的情节：

渐变为1.054 ± 0.01166，非常接近1的理论值，因此强烈支持T(n) = O(n)的结果。