给定循环O（logn）或O（n）的时间复杂度

Question

//loop1
for (int i = 1; i <= n; i*=2) { }
//loop2
for (int i = 1; i <= logn; i++) { }

我们与我的朋友讨论了有关循环的问题，我认为第一个循环为O(logn)，第二个循环为O(n)。但是，对于后者，他说也是O(logn)而不是O(n)。

你能解释吗？

Answer 1

如有疑问，只需将n的值替换为一些值，然后空运行两个循环。

让我们以n = 100为例。

  

// loop1

     

for（int i = 1; i <= n; i * = 2）{}

步骤（以i,n的形式）是

• 1，100
• 2，100
• 4，100
• 8，100
• 16，100
• 32，100
• 64，100
• 128，100

从技术上讲，它可以解决7个步骤。

  

// loop2

     

for（int i = 1; i <= logn; i ++）{}

• log ₂ （100）= 6.64〜7。
• 步骤（以i,n的形式）为：
  • 1，7
  • 2，7
  • 3，7
  • 4，7
  • 5，7
  • 6、7
  • 7，7
  • 8、7

这也可以通过7步骤来解决。因此，这两种方法都具有相同的复杂度，即O（log（n））。

Answer 2

简短答案：

两者均为Log (n)，因为对于输入 n ，两个循环都将运行 Log（n）次。

由于for循环中的i *= 2，第一个循环运行 Log（n）次，而第二个循环运行 Log（n）次，因为for循环中的上限直接设置为该值。

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详细信息：

Big-O告知功能的增长率。第二个循环（这是您感到困惑的一个循环）实际上是两个循环中更简单的一个。您可以直接看到，对于任何输入 n ，该函数将始终仅花费与 Log（n）成比例的时间。

因此，第二个循环的增长率与 Log（n）成正比，换句话说，等于O（Log（n））。