Question

我有一大组N d维向量（位于一个矩阵中），这些向量通过取自身外积（即每个向量乘以自身）来进行提升。对于每个矢量，这将生成一个具有（d + 1）的对称矩阵，并选择2个唯一条目。对于整个数据，这是一个N xd x d张量。我只想计算每个张量切片的较低对角线中唯一的（d + 1）选择2个条目并将它们存储在向量中。我想以最少的内存占用量并在Python中尽可能快地做到这一点-包括使用C绑定。

如果使用标准的numpy方法执行此操作，则它将分配每个矩阵的整体。这大约是实际所需内存复杂度的两倍。

在此处具有规模感，请考虑N = 20k和d = 20k的情况。然后，N * d ^ 2 *每个元素〜8个字节=（2 * 10 ^ 4）^ 3 * 8个字节= 64 TB。

如果仅计算编码唯一项的向量，则（20001选择2）* 20k * 8 = 200010000 * 20000 * 8字节= 32 TB。

是否有一种快速的方法来执行此操作而无需求助于慢速的方法（例如，用python编写我自己的外部产品）？

编辑：我会注意到在Create array of outer products in numpy

中提出了类似的问题

我已经知道如何使用einsum进行计算（如上述问题所示）。但是，如果没有额外的（d选择2）计算和分配，则无法解决此问题

编辑2：该线程How to exploit symmetry in outer product in Numpy (or other Python solutions)?提出了一个相关问题，但没有解决内存复杂性问题。最高答案仍将为每个外部乘积分配一个d x d数组。

该线程Numpy Performance - Outer Product of a vector with its transpose还解决了自外部乘积的计算问题，但没有达到内存有效的解决方案。

编辑3：如果要分配整个数组然后提取元素，np.tril_indices或scipy.spatial.distance.squareform可以解决问题。

Answer 1

不确定确切要如何输出，但是始终可以使用Numba：

import numpy as np
import numba as nb

# Computes unique pairwise products
@nb.njit(parallel=True)
def self_outer_unique(a):
    n, d = a.shape
    out = np.empty((n, (d * d + d) // 2), dtype=a.dtype)
    for i in nb.prange(n):
        for j1 in range(d):
            for j2 in range(j1, d):
                idx = j1 * (2 * d - j1 + 1) // 2 + j2 - j1
                out[i, idx] = a[i, j1] * a[i, j2]
    return out

这将为您提供一个在每一行上具有所有唯一乘积的数组（即完整输出的扁平上三角）。

import numpy as np

a = np.arange(12).reshape(4, 3)
print(a)
# [[ 0  1  2]
#  [ 3  4  5]
#  [ 6  7  8]
#  [ 9 10 11]]
print(self_outer_unique(a))
# [[  0   0   0   1   2   4]
#  [  9  12  15  16  20  25]
#  [ 36  42  48  49  56  64]
#  [ 81  90  99 100 110 121]]

从性能角度来看，它比使用NumPy计算完整外部乘积要快，尽管从中重新创建完整数组需要更长的时间。

import numpy as np

def np_self_outer(a):
    return a[:, :, np.newaxis] * a[:, np.newaxis, :]

def my_self_outer(a):
    b = self_outer_unique(a)
    n, d = a.shape
    b_full = np.zeros((n, d, d), dtype=a.dtype)
    idx0 = np.arange(n)[:, np.newaxis]
    idx1, idx2 = np.triu_indices(d)
    b_full[idx0, idx1, idx2] = b
    b_full += np.triu(b_full, 1).transpose(0, 2, 1)
    return b_full

n, d = 1000, 100
a = np.arange(n * d).reshape(n, d)
print(np.all(np_self_outer(a) == my_self_outer(a)))
# True

%timeit np_self_outer(a)
# 24.6 ms ± 248 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)
%timeit self_outer_unique(a)
# 6.32 ms ± 69.4 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)
%timeit my_self_outer(a)
# 124 ms ± 770 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)

仅有效地计算对称外部乘积矩阵的唯一元素

1 个答案: