时间复杂度的乘法？

Question

我理解当你将两个时间复杂度相乘时，你只需像往常一样将它们相乘，例如n log n的时间复杂度乘以n的时间复杂度会给你一个时间复杂度{ {1}}。

但是哪些界限发挥作用？因此，如果(n^2) log n是上限而n log n也是上限，那么它们的乘积会是什么样的约束？对于下界上限和紧束缚的其他组合会是什么？ （例如，上限x紧密绑定，上限x下限和紧密绑定x下限。）

感谢您的帮助。

Answer 1

这是一个纯粹的数学问题：

f(x) O(g(x))当且仅当存在M，x0时才|f(x)| <= M*|g(x)| x > x0。你会在大多数基本的复杂性书籍中看到这一点。

假设f(x)为O(F(x))而g(x)为O(G(x))。然后|f(x)| <= M_f * |F(x)|适用于所有x > x0F和|g(x)| <= M_g * |G(x)|适用于所有x > x0G。

所有|f(x) * g(x)| = |f(x)| * |g(x)| <= M_f * M_g * |F(x)| * |G(x)|的

x > max(x0F, x0G)因此f(x) * g(x)为O(F(x) * G(x))且复杂性会成倍增加（将M = M_f * M_g和x0 = max(x0f, x0g)应用于定义大O）

Answer 2

  

因此，如果n log n是上限而n也是上限，那么它们的乘积会是什么样的约束？

上限。查看正式分析的任何好的教科书答案;将这两个上限相乘的直观含义是“如果你最多只需 n lg n ，那么成本最多只需 n ，然后你最多执行 n ²lg n 工作“。

  

upperbound×紧密绑定

紧束缚是上限和下限，所以这是一个上限。

  

紧紧束缚×下限

......并且通过相同的推理，这是一个下限。

  

upperbound×lowerbound

没有一般规则。假设您最多 n 次执行至少n ²操作。这可能根本不起作用，或指数量，或任何更大的。