graph - 在具有正节点和负边缘的图形中移动的算法

Question

我有一个图表，节点中有一些正值，边缘有一些负值。
我必须在图表中精确地x次移动，从源节点到目标节点，目标是最大化总和：

• 当我留在节点中移动时
• 当我通过边缘时减法

所以，如果我继续在同一个节点上移动，则总和会增加，所以如果我在一个值为10的节点中停留4次，我总共得到40。一个例子如下图所示。

在这种情况下，最好的解决方案是：

Move1 - ＆gt; （源节点+3）3

Move2 - ＆gt; （3-20 + 15）-2

Move3 - ＆gt; （留+15）13

...（保持同一节点）......

Move19 - ＆gt; （留+15）253

Move20 - ＆gt; （目标节点253-5 + 3）251

什么是解决问题的有效解决方案？我可以实现类似伪代码的东西，只是为了理解我该如何解决它。

非常感谢。

Answer 1

这可以通过Bellman-Ford algorithm的变体来解决，O(|E|*n)时间复杂度，其中|E|是边数，n是步数：

为简单起见，假设您在每个节点中都有一个自循环，权重为0，这表示＆＃34;保持操作＆＃34;。所以你有：

for all u in V:
(u,u) in E
w(u,u) = 0

现在，使用Dynamic Programming：

应用递归公式

D[v][0] = 0          if v is the source
          -infinity  otherwise
D[v][i] = max { D[u][i-1] + w(u,v) + cost(v) | where (u,v) is an edge }

解决方案是D[target][n]

这基本上是Bellman-Ford算法（使用max而不是min），但是在n次迭代后而不是在|V|之后停止。