是复杂度O（log（n）+ log（n / 2）+ log（n / 4）+ log（n / 8）+ ... + log（2））= O（log（n））？

Question

作为家庭作业，我被要求在O（log（n））中编写一个算法，我可以计算我写的那个复杂度为O（log（n）+ log（n / 2）+ log（n） / 4）+ log（n / 8）+ ... + log（2））。

我认为它相当于O（n），因为它大致是log（n）* O（log（n））= O（n）。但我不确定。我知道家庭作业问题在这里不受欢迎，但我真的不知道另一种方法来找出它的复杂程度。谷歌搜索并没有帮助我。

指定：n为N，n = pow（2，c），c为N

Answer 1

不，它不是O（log n）。它是O（（log n） ² ）。

O(log(n) + log(n/2) + log(n/4) + log(n/8) + ... + log(2))
= O(log(n * n/2 * n/4 * n/8 * ... * 2))                    using log multiplication rule
= O(log(n * n * n * ... * n / 2 / 4 / 8 / ... / n))
= O(log(nlog n / 2 / 4 / 8 / ... / n))
= O(log(nlog n / (1 * 2 * 4 * 8 * ... * n/4 * n/2 * n))
= O(log(nlog n / ((1 * n) * (2 * n/2) * (4 * n/4) * ...)    group first and last terms
= O(log(nlog n / (n * n * n * ...))                         since we grouped terms,
= O(log(nlog n / n(log n)/2)                                      we halved the number of terms
= O(log(nlog n) - log(n(log n)/2))                             log division rule
= O(log n.log n) - ((log n)/2).log n)                      log power rule * 2
= O(log n.log n) - (log n.log n)/2)
= O(log n.log n)/2)
= O((log n)2/2)
= O((log n)2)                                              big-O doesn't care about constants

Answer 2

从一些基本算术开始：

O(log n/2) = O( (log n) + log(1/2))

常量可以忽略。因此：

O(log n / 2) = O(log n)

所以，你要添加一堆O（log n）。多少？好吧，关于log（n）值得。所以，这意味着算法是：

O( (log n)^2)