O表示法：2 ^ log（O（n ^ 2））= 2 ^ O（log（n ^ 2））？

Question

我尝试用对数规则解决这个问题：

O（n ^ 2）= 2 ^ O（log（n ^ 2））

c * n ^ 2 = 2 ^ log（n ^ 2c）

我不确定这是真的吗？

Answer 1

我认为这取决于等号在这里意味着什么。如果等号表示

＆＃34;任何2 ^{log O（n 2 ）}的函数也是2 ^{O（log n 2 ）}＆＃34;

然后声称是真的。设f（n）为o（n ² ）的函数。这意味着有＆＃sac;和 ₀ ，这样对于任何n≥n ₀ ，我们知道f（n）≤cn ² 。因此，对于任何n≥n ₀ ，我们知道

  

2 ^{log f（n）}≤2 ^{log（cn 2 ）} = 2 ^{（log c + log n 2 ）}

函数log c + log n ² 本身就是O（log n ² ），所以我们看到了

  

2 ^{log f（n）}≤2^{（log c + log n 2 ）} = 2 ^{O（log n < SUP> 2} ）

另一方面，如果等号表示

＆＃34; 2 ^{log O（n 2 ）}的函数类是2 ^{O（log n）的相同类函数 2 ）}＆＃34;

然后声称是错误的。例如，函数n ⁴ 在第二类中，因为它可以写成2 ^{2 log n 2} ，但它＆＃39;不在头等舱。

希望这有帮助！

Answer 2

不，不，不。你不能只拿对数。

2 ^ log（O（n ^ 2））= 2 ^ log（c * n ^ 2））= c * n ^ 2

2 ^ O（log n ^ 2）= 2 ^（c * log n ^ 2）=（2 ^（log n ^ 2））^ c =（n ^ 2）^ c。

第一个是O（n ^ 2）。第二个是n提升到未知但有限的权力。