Question

我知道以下代码的复杂度为O（log（n））：

while (n>1)
{
    counter++;
    n/=2;
}

据我所知，n在每次迭代时被分成两半，这意味着如果n为1000，则需要十轮才能离开循环。这是如何导致O（log（n））的？

对不起这个简单的问题，在我问之前，我真的尽力去做。

Answer 1

每次循环时，除以2（粗略;这将忽略舍入，因为它是渐近参数）。因此，如果在开始时n = N，则在k次迭代之后，n = N /（2 ^ k）。要达到n = 1，你必须满足2 ^ k = N.即，k = log（N）。

Answer 2

重现关系将是

 T(n) = T(n/2) + O(1)

尝试使用Master's theorem解决它将使T（n）的运行时间为O（log n）（类似于二进制搜索中的内容）。

Answer 3

假设n是2 ^ x（例如2 ^ 5 = 32,2 ^ 10 = 1024等），因此计数器在循环内递增x次。根据定义，x是基数2 log n。

Answer 4

根据定义，对数不是线性的。换句话说，它们根据输入而改变不同的量。在您的示例中，第一步将n减少500，而第五步减少仅减少32.您越接近一，慢n减少。这种“减速”正是您通过日志获得的行为。

Answer 5

一个简单的手动解释：如果你加倍n会发生什么？运行时是否加倍（即O（n））？不，运行时增加只有一步。这是典型的O（log n）。

[OTOH，如果你平方n（比如它从4增加到16），那么你会发现步数加倍。再次，指示O（log n）。]